Zeigen Sie, dass C eine Basis von U ist.

Question

Zeigen Sie, dass C eine Basis von U ist.

Text erkannt:

Gegeben seien der Unterraum
$ U:=\left\{\mathbf{p} \in \mathcal{P}_{2}: \mathbf{p}(1)=\mathbf{p}(-1)\right\} $
von $ \mathcal{P}_{2} $ und die Basis $ \mathcal{B}:=\left(\mathbf{m}_{2}, \mathbf{m}_{0}\right) $ von $ U $. Weiterhin sei die Familie $ \mathcal{C}:=\left(\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}\right) $ gegeben, wobei
$ \mathbf{c}_{1}:=\mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{2} \text { und } \mathbf{c}_{2}:=\mathbf{m}_{0}-2 \mathbf{m}_{2} . $
(a) Zeigen Sie, dass $ \mathcal{C} $ eine Basis von $ U $ ist. [Hinweis: Sie dürfen hierbei verwenden, dass $ \mathcal{B} $ eine Basis von $ U $ ist.]
(b) Beschreiben Sie die Polynome von $ \mathcal{B} $ durch Koordinatenvektoren bzgl. $ \mathcal{C} $. Genauer: Berechnen Sie die Koordinatenvektoren $ \mathbf{m}_{0}^{\mathcal{C}} $ und $ \mathbf{m}_{2}^{\mathcal{C}} $.
(c) Man definiere eine Matrix $ T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $ so, dass ihre $ i $-te Spalte gleich dem Koordinatenvektor von $ \mathbf{c}_{i} $ bzgl. der Basis $ \mathcal{B} $ ist; also $ T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}:=\left(\mathbf{c}_{1}^{\mathcal{B}} \mid \mathbf{c}_{2}^{\mathcal{B}}\right) $. Bestimmen Sie die Matrix $ T_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} $.

Kommentiert 27 Apr 2022 von Gast

📘 Siehe "Basis" im Wiki

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hallo97 · Answer 1 · 2022-04-27T23:03:00+0000

Hallo :-)

So wie ich es verstehe, sind $m_0,m_2$ Monome, also Polynome der Gestalt $ x^0, x^2 $ und damit entsprechend $m_0=x^0 $ und $m_2=x^2$. Beide bilden tatsächlich durch Nachrechnen eine Basis von $U$. Das kann man sich aber auch folgendermasßen erschließen:

Betrachte $p(x)=a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0\in \mathcal{P}_2$. Damit $ $\in U $ gilt, muss $p(1)=p(-1)$ gelten, also $a_2+a_1+a_0=p(1)=p(-1)=a_2-a_1+a_0 \Rightarrow 2\cdot a_1=0 \Rightarrow a_1=0$. Also bleiben nur noch die Koeffizienten $a_0,a_2\in \mathbb{R}$ über, sodass sich jedes Polynom $p\in U$ durch $p(x)=a_2\cdot x^2+a_0=a_2\cdot m_2(x)+a_0\cdot m_0(x)$ beschreiben lässt.

Zu (a). Man betrachtet hier neue Polynome $c_1,c_2\in \mathcal{P}_2$ definiert durch

$\mathbf{c}_{1}(x):=\mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{2}=x^0+x^2=1+x^2$ und

$\mathbf{c}_{2}(x):=\mathbf{m}_{0}-2 \mathbf{m}_{2}=x^0-2x^2=1-2x^2 . $

Jetzt sollst du einerseits die Lineare Unabhängigkeit beider Vektoren zeigen und dass sich jedes Polynom aus $U$ eben als Linearkombination von $c_1,c_2$ schreiben lässt.

Ich führe mal die lineare Unabhängigkeit vor:

Betrachte $$ 0=a\cdot c_1(x)+b\cdot c_2(x)=a\cdot (1+x^2)+b\cdot (1-2x^2)=a+a\cdot x^2+b-2\cdot b\cdot x^2\\=(a+b)+(a-2b)\cdot x^2=(a+b)\cdot x^0+(a-2b)\cdot x^2 $$

Man weiß (oder durch Nachrechenen), dass $x^0,x^2$ linear unabhängig sind. Also folgt schonmal $a+b=0$ und $a-2b=0$. Ineinander eingesetzt bekommt man $0=a+b=2b+b=3b\Rightarrow b=0 \Rightarrow a=0.$ Also sind auch $c_1,c_2$ linear unabhängig.

Dass nun $c_1,c_2$ tatsächlich $U$ erzeugen, kannst du dadurch zeigen, indem du zeigst, dass sich jedes Polynom aus $U$ als Linearkombination aus $c_1$ und $c_2$ schreiben lässt. Suche also $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ mit $$ a_0+a_2\cdot x^2=\alpha \cdot c_1(x)+\beta \cdot c_2(x). $$ Setze also einfach mal die Polynomausdrücke von $c_1,c_2$ ein und ordne nach den Monomen und löse wie bei der linearen Unabhängigkeit ein LGS.

Zu (b). Bekommst du aus (a) geschenkt.

Zu (c). Vom Prinzip her dasselbe wie bei (b) machen und die Koordinatenvektoren als Spalten in einer Matrix zusammengefasst aufschreiben.

Zeigen Sie, dass C eine Basis von U ist.

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