Berechne den Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen

Question

Aufgabe:

Ein Quader hat die Länge der Kanten

a=8,5 cm    b=4,2 cm und c 5,9 cm

Die Raumdiagonale d = 11,17 cm

Berechne den Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen

Problem/Ansatz:

Wenn ich d habe von vorne links unten nach hinten rechts oben, die 11,17 cm lang ist. Wie komme ich auf die Lösung von 135,8°?

Ich sitze nun seit 2 Stunden an dieser Aufgabe, komme aber immer auf andere Winkelzahlen.

Comments

Dein Ergebnis (Länge der Raumdiagonale) ist vermutlich zu stark gerundet.

Jede Raumdiagonale hat eine vektorielle Darstellung. Schlage die Formel für den Winkel zwischen. zwei Vektoren in einer Formelsammlung nach.

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Text erkannt:

\( a \)

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Hallo,

f ist eine Flächendiagonale, keine Raumdiagonale.

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komme aber immer auf andere Winkelzahlen

Das kann durchaus in Ordnung sein, weil es vier Raumdiagonalen und zwischen diesen sechs verschiedene Winkel gibt. Nur einer davon ist 135,8°

(Zum Vergleich : die anderen sind 44,2°, 63,8°, 88,9°, 93,1°, 116,2°.)

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Aber wie ist der Rechenweg für die 135,8°?

Answer 1

Hallo,

mit Sinus sieht die Rechnung so aus:

180°-2*arcsin(4.2/√(8.5²+4.2²+5.9²))≈135,814°

Verbinde den Schnittpunkt von d und e mit dem Mittelpunkt der Kante a. Du erhältst zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Gegenkathete des halben Schnittwinkels ist a/2, die Hypotenuse ist d/2 oder e/2.

:-)

Answer 2

Prinzipiell wäre es hilfreich, wenn du bei solch einer Frage auch eine Skizze des Quaders schickst :)

Den halben Winkel zwischen den Raumdiagonalen findest du, wenn du den vom ähnlichen (rechtwinkligen) Dreieck suchst, nämlich mit folgenden Längen: halbe Raumdiagonale, halbe Kantenlänge und die halbe Flächendiagonale. Schließlich nur noch trigonometrische Formel anwenden und verdoppeln nicht vergessen!

Comments

Eine Skizze habe ich jetzt hochgeladen. Aber verstehe nicht, was ich da rechnen soll.

f hatte ich bereits gerechnet und es kam 9,48 cm gerundet raus.

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Wenn \( \vec{d} \) =\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) , dann \( \vec{e} \) =\( \begin{pmatrix} -a\\b\\c \end{pmatrix} \).

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Diese Rechenweise kenne ich nicht. Heißt das a:b:c?