Übergangsmatrizen, Austauschprozesse, Multiplikation

Question

wenn ich in einer Übergangsmatrix prozentzahlen stehen habe,darf ich diese dann mal ganze Zahlen,also keine Prozentzahlen multiplitzieren,oder wenn ich die Zahlen für mein Lgs verwenden möchte,oder muss ich sie in Prozent umschreiben?

Answer 1

solange du die Matrix nur auf Vektoren anwendest, kannst du die die Einheit "%", die gleich ein Hundertstel bedeutet ($1 \% = \frac{1}{100}$) als Einheit hinter den Vektor ziehen:

$M v = \frac{1}{\%} M v \% = M^* v \%$.

$M^*$ ist hierbei die Matrix ohne %-Einheiten.

Multiplizierst du hingegen zwei Übergangsmatrizen miteinander, so quadriert sich das Prozentzeichen ($\%^2 = \frac{1}{10.000}$) gemäß

$M B = \frac{1}{\%} M \frac{1}{\%} B \%^2 = M^* B^* \%^2 = M^* B^* \frac{1}{10.000}$.

$M^*$ und $B^*$ sind wieder die Matrizen, die aus $M$ und $B$ durch Streichung der %-Zeichen hervorgehen.

Dies ist auch notwendig, da die resultierende Matrix sonst nicht mehr als Übergangsmatrix mit Wahrscheinlichkeiten gedeutet werden könnte: Die Größenordnung der Einträge würde mit jeder Multiplikation um ca. $100 = 10^2$ wachsen.

MfG

Mister

PS: Allgemein gilt also für das Produkt von $n$ Matrizen $A_i$

$\prod A_i = \left( \prod A_i^* \right) \left(\frac{1}{\%}\right)^n = \left( \prod A_i^* \right) \left(\frac{1}{100} \right)^n$.