Analysis 2: Normierter Raum

Question

Aufgabe:

Sei (V, ||•||) ein normierter Raum. Beweisen Sie:

(a) B1(0)={x∈V: ||•||≤1}

(b) ∂B1(0)=∂B1(0)={x∈V: ||•||<1}

Hier bezeichnet B1(0) die Menge {x∈V: ||x||<1}

Kann jemand diese Aufgabe lösen? Danke schonmal

Comments

Prüfe doch nochmal Deine Angaben. a)  widerspricht Deiner Definition am Ende. Ebenso b)

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über B1(0) ist jeweils ein strich

Answer 1

Hallo,

ich gehe jetzt mal aus von

$$B_1(0)=\{x \in V \mid \|x\|<1\}$$

Dann ist \(\overline{B_1(0)}=\{x \in V \mid \|x\| \leq 1\}\). Denn

1. Wenn \(x \in \overline{B_1(0)}\) ist dann existiert nach Definition eine Folge \((x_n)\) in \(B_1(0)\) mit \(x_n \to x\). Dann:

$$\|x\| \leq \|x-x_n\| + \|x_n\| <\|x-x_n\| + 1  $$

Durch Grenzübergang folgt \(\|x\| \leq 1\).

2. Wenn \(\|x\|=1\), dann gehört x zum Abschluss. Denn es gilt:

$$(1-\frac{1}{n})x \to x$$

Die zweite Behauptung dürft wohl sein \(\partial B_1(0)=\{ x \in V \mid \|x\|=1\}\), das folgt analog.

Gruß Mathhilf

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Herzlichen dank!!