Nach Voraussetzung ist \(A(v+w)\cdot A(v+w)=(v+w)\cdot (v+w)\quad(*)\).
Die linke Seite ist nach den Regeln für Skalarprodukte
\(=(Av)\cdot (Av)+2(Av)\cdot (Aw)+(Aw)\cdot (Aw)=\)
\(=v\cdot v+2(Av)\cdot (Aw)+w\cdot w\).
Die rechte Seite liefert
\(=v\cdot v+2v\cdot w+w\cdot w\).
Aus \((*)\) folgt dann \(2(Av)\cdot (Aw)=2v\cdot w\) und das liefert die Behauptung.