Zeigen Sie, dass 4 × 4-Matrix ein Skalarprodukt auf R4 definiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgende 4 × 4-Matrix ein Skalarprodukt auf R⁴ definiert. Bestimmen Sie eine
Orthonormalbasis von R⁴ bezüglich dieses Skalarprodukts.

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 4\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Bin leider auf dem Schlauch wie ich das hier angehen soll, hab zwar die Bedingungen eines Skalars, wäre aber über weitere Hilfe dankbar.

Answer 1

Sei \(A\) die angegebene Matrix.

Durch \((x,y)=x^tAy\) wird eine Bilinearform auf \(V=\mathbb{R}^4\)

definiert. Diese ist symmetrisch, da die Matrix symmetrisch ist.

Sie ist ein Skalarprodukt, wenn die Matrix positiv definit ist.

Das kannst du bestätigen, wenn du zeigst, dass die

vier führenden Hauptminoren der Matrix \(>0\) sind.

Siehe hierzu: https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Hauptminoren