Von welchen Punkten der y-Achse aus können keine Tangenten an den Graphen von e*ln(x)/x gelegt werden?

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = \( \frac{e * ln(x)}{x} \), wobei e die Euler'sche Zahl ist.

Von welchen Punkten der y-Achse aus können keine Tangenten an den Graphen von f gelegt werden? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem: In der Ideallösung steht der höchste y-Achsenschnittpunkt einer Tangentengleichung ist aus dem Wendepunkt. Ich kann mir aber nicht vorstellen warum es ausgerechnet der Wendepunkt sein muss?

Answer 1

Hallo,

Ich kann mir aber nicht vorstellen warum es ausgerechnet der Wendepunkt sein muss?

Verschiebe den Punkt auf dem Graphen von \(f(x)\) mit der Maus.

https://www.desmos.com/calculator/rn0igezmvb

Kannst Du es Dir dann vorstellen?

Gruß Werner

Comments

Hallo,

keine Ahnung ob Dir das Desmos-Script oben in meiner Antwort geholfen hat. Du hast Dich nicht wieder gemeldet.

Evt. ist es praktischer, unten rechts auf das Desmos-Symbol zu klicken. Dann kannst Du ggf. die Größe skalieren und die Bewegungen der Tangente besser sehen.

Links vom Wendepunkt ist die Krümmung der Funktion negativ. Das bedeutet, dass die Tangente bei der Bewegung des Berührpunktes von links nach rechts negativ dreht (im Uhrzeigersinn). Da der Berührpunkt im Positiven liegt, wird also der Schnittpunkt der Tangente mit der Y-Achse stetig nach oben wandern.

Im Wendepunkt wechselt das Vorzeichen der Krümmung. Hier von negativ nach positiv. Bewegt man den Berührpunkt dann weiter nach rechts (positiv \(x\)) dreht die Tangente gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) und folglich wandert der Schnittpunkt der Tangente mit der Y-Achse nach unten.

Folglich hat dieser Schnittpunkt seine höchste Position erreicht, wenn sich die Tangente im Wendepunkt befindet.

Answer 2

Ich kann mir aber nicht vorstellen warum es ausgerechnet der Wendepunkt sein muss?

Ich konnte das auch nicht sofort, deshalb habe ich mir die Situation mit Wendepunkt und Tangente im Wendepunkt veranschaulicht.

Denke dir einen Punkt auf der y-Achse, der oberhalb von B liegt. Kann auch von dort aus eine Tangente angelegt werden? Wo sollte diese denn berühren?

Übrigens: Tangenten in Wendepunkten sind die einzigen Tangenten, die den Grafen wirklich schneiden. Alle anderen Tangenten berühren nur, ohne "die Seite zu wechseln".

Comments

Ist es aber dann per Definition immer noch eine Tangente wenn die Tangente am Wendepunkt den Graphen schneidet und "die Seite wechselt"?

---

Tangente = Gerade, die an der bewussten Stelle den gleichen Anstieg wie die Funktion selbst hat.

---

Habe ich das so richtig verstanden, dass alle Tangenten nach diesem Wendepunkt dann keine Tangenten (nach Definition) mehr sind, da die Gerade dann den gleichen Anstieg wie die Funktion nicht an einem Punkt sondern an mehr als einem Punkt hat?

---

Habe ich das so richtig verstanden, dass alle Tangenten nach diesem Wendepunkt dann keine Tangenten (nach Definition) mehr sind,

Nein, das hast du nicht richtig verstanden. Was du als "Definition" der allgemeinen Tangente verstehst, ist nur die Erklärung des Tangentenbegriffst am Spezialfall "Kreis", die zu einer Zeit erfolgte, als Schüler mit dem Begriff "Anstieg" noch nicht anfangen konnten und die deshalb zu am Kreis gültigen Ersatzbeschreibungen "nur ein gemeinsamer Punkt" greifen musste.

Answer 3

Hallo,

in Wendepunkten nimmt die Tangentensteigung ein Extremum an. Da die Funktion nur einen Wendepunkt hat, ist die Steigung hier am "negativsten". Eine noch stärkere negative Steigung gibt es nicht. Daher ist der Schnittpunkt der Wendetangente mit der y-Achse der höchste Punkt auf der y-Achse, der von einer Tangente getroffen wird.

:-)