Nullfolge beweisen, n! abschätzen

Question

Aufgabe:

Beweisen sie, dass die Folge \(a_n\)=\( \frac{n^5}{n!} \) eine Nullfolge ist.

Problem/Ansatz:

Habe versucht das ganze über das Konvergenzkriterium bzw. das Epsilonkriterium zu lösen, leider bleibe ich aber immer schon am Anfang hängen, weil ich nicht weiß wie ich

\( \frac{n^5}{n!} < ... ... ... \epsilon\)

richtig abschätze. Vor allem habe ich mit "n!" Probleme.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Verwende das Quotientenkriterium für die Konvergenz von Reihen:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^5}{(n+1)!}}{\frac{n^5}{n!}}=\frac{(n+1)^5}{n^5}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}=\left(1+\frac1n\right)^5\cdot\frac{1}{n+1}\to1\cdot0=0$$Daher konvergiert \(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n^5}{n!}\), was notwendig voraussetzt, dass \(a_n=\frac{n^5}{n!}\) eine Nullfolge ist.

Answer 2

Ist \(n\gt 10\), dann sind \(n-5,\cdots,n-1\gt n/2\).

Wir bekommen die Abschätzung$$\frac{n^5}{n!}\leq \frac{n^5}{(n-5)\cdots(n-1)\cdot n}\leq \frac{n^5}{(n/2)^5\cdot n}=\frac{32}{n}\rightarrow 0$$für \(n\rightarrow \infty\).

Answer 3

Du könntest mit n^5 kürzen.

1/(n!/5) = 1/oo = 0

Comments

Mir ist ein Fehler unterlaufen:

1/(n!/n^5) = n^5/n! Ich hatte das n bei n^5 vergessen.

Das führt nicht weiter! Sorry!