Für alle n ∈ N mit n >= 10 gilt n3 <= 2n.

Question

Aufgabe:

Für alle n ∈ N mit n >= 10 gilt n^3 <= 2^n.

Problem/Ansatz:

Ich komme mit Induktions Schluss leider nicht weiter. Können Sie mir bitte helfen?

Comments

Der Induktionsschluss könnte wie folgt aussehen: 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n³ - (n - 4)·(n² + n + 1) - 3 = (n + 1)³.

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Ich komme trotzdem nicht weiter :(

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Weiter geht's auch nicht. Die Aussage ist damit bereits gezeigt.

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Woher kommt 4?

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Es geht auch klassisch: Für n > 4 gilt
2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n³ > n³ + 4n² > n³ + 3n² + 4n > n³ + 3n² + 3n + 1 = (n + 1)³.

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Aber bei der Frage steht n ist größer gleich 10

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Oder ich hab was verstanden?

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Eine Ungleichung, die für alle n > 4 gilt, gilt sicher auch für alle n ≥ 10.
Du kannst aber auch etwas kürzer so argumentieren: Für alle n ≥ 10 gilt
2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n³ ≥ n³ + 10n² > n³ + 3n² + 3n + 1 = (n + 1)³.

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Achsooo, dankeschön

Answer 1

Man könnte auch folgendem Hilfssatz erst beweisen und dann zu Induktionsvoraussetzung addieren;

"Für alle n ∈ N mit n ≥ 10 gilt: 3n²+3n+1≤2ⁿ."

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Alles klar, vielen Dank