Lineares Gleichungssystem mit Abhängigkeiten

Question

Aufgabe:

Lineares Gleichungssystem lösen

Problem/Ansatz:

Benötige gerade wirklich etwas Auffrischung in Sachen LGS.

Folgendes LGS ist gegeben:

x + 2y - z = 4

-x + 2y - 3z = 6

2x + 2z = -2

Wir sind das LGS bereits in der Schule durchgegangen und dabei kam raus, dass es keine bestimmten Werte für x, y und z gibt, sondern diese voneinander abhängig sind (woran erkenne ich das direkt bzw. im Verlauf?)

Ich weiß, dass man die Gleichungen nach Gauß so miteinander verrechnet, dass man am Ende eine neue Gleichung für x und y hat. Z setzt man scheinbar gleich mit sich selbst. Wieso genau macht man das?

Würde mich freuen, wenn jemand die genauen Rechenschritte für dieses LGS aufschreibt, weil ich nicht weiß ob meine Schreibweise korrekt ist.

Answer 1

ein lgs kann

keine lösung

eindeutige lösung

unendlich viele lösungen

haben.

wenn du von der ersten die dritte abziehst erhältst du die zweite gleichung. d.h. du hast eigentlich nur zwei voneinander unabhängige gleichungen, kannst also nur zwei der unbekannten bestimmen. die dritte bleibt dir erhalten..

zeig deine schreibe!

Comments

Wieso kann ich bei zwei voneinander abhängigen Gleichungen auch nur 2 Unbekannte bestimmen?

Das mit der Schreibe passt jetzt, habe es jetzt schon anderweitig prüfen können.

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Bzw was mir noch nicht zu 100% einleuchtet: wieso gilt z=z und es kann z nicht auch durch Parameter angegeben Werden?

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weil du genau so viele unabhängige gleichungen brauchst wie du unbekannte hast, wenn ein du eine eindeutige lösung bestimmen willst.

I - lll = ll

z=z

heißt nur, das z übrig bleibt und alle werte der grundmenge annehmen kann, also ein unbestimmter parameter ist.

geometrisch hast du 3 Ebenengleichung, die sich in einer geraden schneiden.

nimm ein cas deines vertrauens (geoknecht, geogebra,…) und lass dir das bild darstellen!

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Habe mir dieses Video Mal zum Verständnis angeschaut: https://youtu.be/LrrdZECDZtU

Bei Minute 3 sagt er jedoch das mit dem z (hier mit dem Parameter t), was ich nicht verstehe:

Man könnte doch theoretisch einfach die erste oder zweite Gleichung nach z umstellen, wieso macht man das nicht?

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Das ist nach meiner Einschätzung kein besonders glückliches handeln. Der Kern ist doch, das beim Gaußen eine Gleichung wegfällt. Du also 2 Gleichungen und 3 Unbekannte hast, damit ist klar, daß du nur 2 Unbekannte ausrechnen kannst und eine als Parameter behandeln mußt - wie die heißt ist im Prinzip unwichtig, sagen wir t∈ℝ und es ist weiter ganz Dir überlassen welche der Unbekannten du auswählst

x=t oder y=t oder z=t (xoder)

je nach wahl ergibt sich eine andere Schreibe für die Lösung - die aber alle die gleiche Schnittgerade darstellen. Merke Geradengleichungen können sich im Orstvektor und in einem Faktor für den Richtungsvektor unterscheiden....