Diagonalisierbarkeit einer Matrix, EV, charakteristisches Polynom, orthogonale Matrix

Question

Aufgabe:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \)  ∈ M (3x3; ℝ)

a) Wieso ist A diagonalisierbar? Verifizieren Sie, dass e := \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)  ∈ R³ Ein Eigenvektor von A ist. Welcher Eigenwert ergibt sich dabei?

b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom P_A (t) von A, die beiden übrigen Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.

c) Wie lautet die orthogonale Matrix S ∈ O(3), welche A diagonalisiert?

Problem/Ansatz:

Zu a) : Damit A diagonalisierbar ist, muss A doch symmetrisch sein, und char(k) != 2. Da wir aber eh im Reellen sind, kann das zweite Kriterium ja ignoriert werden, oder? Wie zeig eich das aber jetzt? Und wie zeige ich den zweiten Teil mit dem EV?

Zu b): Hat hier jemand einen Ansatz für mich?

Zu c): Ist damit die Transformationsmatrix T gemeint, also zu der Formel T^t * A * T = D ? Wenn ja, wie gehe ich hier vor?

Liebe Grüße

Answer 1

Damit A diagonalisierbar ist, muss A doch symmetrisch - falsch

char(k) != 2 - ?

A e = (3,3,3)^T ===> EW=3

Zusammenfassung unter

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Dim Eigenraum 3-rg(A -λ E)

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k}=\operatorname{Spur} A, \quad \prod \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k}=\operatorname{det} A \)

 ===> EW=(0,3) , Dim ER (2,1)

 \(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0 \\\end{array}\right)\)

===>

\(T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&-1&1\\1&0&1\\0&1&1\\\end{array}\right)\)