Kann diese Aufgabe ausführlich lösen?
Text erkannt:
Gegeben sei die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} -3 & -1 & -2 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 & -4 & -1 \\ 2 & 1 & 3 & 3 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{5 \times 5} \)
a) Berechnen Sie die Jordansche Normalform \( \tilde{A} \) von \( A \).
b) Bestimmen Sie eine Matrix \( S \in \mathrm{GL}_{5}(\mathbb{R}) \) mit \( \tilde{A}=S^{-1} A S \).
Text erkannt:
Es sei \( B \) eine komplexe \( n \times n \)-Matrix. Zeigen Sie:
a) Ist 1 einziger Eigenwert von \( B \) und ist der zugehörige Eigenraum eindimensional, so sind \( B \) und \( B^{2} \) ähnlich.
b) Ist \( B \) regulär und hat nur reelle Eigenwerte und sind \( B \) und \( B^{2} \) ähnlich, so ist 1 einziger Eigenwert von \( B \).
