Bestimme die Zahlen.

Question

Aufgabe:

Die Differenz zweier ganzer Zahlen beträgt 1, die Summe ihrer Quadrate \( 221 . \) Bestimme die Zahlen.

Problem/Ansatz:

Quadratische Gleichungen Lösen …

Answer 1

Die erste Bedingung ist eine Geradengleichung, die zweite eine Kreisgleichung. Die Gerade schneidet den Kreis an zwei Punkten. Das sind die Lösungen.

Comments

Aus der Geradengleichung folgt a = b + 1

Das eingesetzt in die Kreisgleichung und dann ausmultipliziert führt zur quadratischen Gleichung 2b² + 2b - 220 = 0 was man mit der Mitternachtsformel lösen kann, mit den Lösungen b₁ = 10 und b₂ = -11 welche man wiederum in die erste Gleichung dieses Kommentars einsetzen kann.

Answer 2

............................
10 und 11

Comments

Aber wenn ich das mit pq Formel lose dann kommt 10 aber da kommt nicht 11 sondern -11

---

Aber wenn ich das mit pq Formel lose dann kommt 10 aber da kommt nicht 11 sondern -11

Du hast sicher \(n\) berechnen.

Und im Fall von \(n=10\) ist \(n+1=11\) - macht das Paar \((10,11)\) und bei der zweiten Lösung mit \(n=-11\) wäre \(n+1=10\) macht das Paar \((-11,-10)\).

Ist alles richtig ;-)

Answer 3

x-y= 1

x= 1+y

x^2+y^2 = 221

(1+y)^2+y^2 =221

y^2+2y+1+y^2 =221

2y^2+2y= 220

y^2+y-110 = 0

Vieta:

(y+11)(y-10) = 0

y= -11 v y= 10

x= -10 v x= 11

Answer 4

Der Weg bis dahin ist schon aufgezeigt worden, nun weiter mit der quadratischen Ergänzung:

\(y^2+y-110 = 0\)

\(y^2+1y = 110\)

\(y^2+1y+0,5^2 = 110+0,5^2\)

\((y+0,5)^2  = 110+0,5^2=110,25|\sqrt{}\)

\(y+0,5  =110,25|\sqrt{}\)

1.)\(y+0,5  =10,5\)

\(y₁=10\)

2.)\(y+0,5  =-10,5\)

\(y₂=-11\)