Häufungspunkte - Teilmenge

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie jeweils, dass es eine Teilmenge \( A \subset \mathbb{R} \) gibt mit
(i) \( \mathrm{HP}(A)=\mathbb{Z} \),

(ii) \( \operatorname{HP}(A)=\mathbb{Q} \cap[0,1] \).

Answer 1

Hallo,

zu (ii): Salopp gesprochen: Häufungspunkte von Häufungspunkten sind selbst auch Häufungspunkte. Hier konkret: Wenn alle rationalen Zahlen im Intervall [0,1] Häufungspunkte von A sind, dann auch die irrationalen Zahlen in [0,1]. Dazu:

Sei x in [0,1] irrational und e>0 dann existiert eine rationale Zahl q mit |q-x|<0.5e. Weil q Häufungspunkt von A ist, existiert ein a aus A mit |q-a|<0.5e. Insgesamt also |x-a|<e. Damit ist x auch Häufungspunkt.

Noch eine einfache Alternative für (i):

$$A:=\{m+\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{Z}\}$$

Answer 2

Für (i) vielleicht sowas wie:  A = { x=n+1/(2n) | n∈ℤ\{0}}