Geometrie Matrix A Iso(R2)

Question

Aufgabe

2x2 Matrix A=|0   -1|.

                   |-1   0|

Interpretieren Sie A als Abbildung A: R2–> R2 und zeigen Sie, dass A Element in ISO (R2) ist. (R2 mit euklidischer Metrik) Bestimmen Sie das Inverse zu A
Problem/Ansatz:

Ich weiß das Iso( R2) von allen Isometrien eines metrischen Raumes gebildet wird und auch das jede abstanderhaltende bijektive Abbilung eine Isometrie ist aber wie wende ich dies auf A an?

Comments

Was ist denn die formelmäßige Definition von Isometrie?

Answer 1

Also musst du doch nur zeigen

f : ℝ² →ℝ² mit \(  \vec{x} → A \cdot \vec{x} \)   ist bijektiv und abstanderhaltend.

bijektiv, da det(A)=-1 ≠0

und \(  ||\vec{x}||  = || A \cdot \vec{x}|| \), weil für   \(  \vec{x} = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) gilt

\(  || A \cdot \vec{x}|| =  ||   \begin{pmatrix} -y\\-x \end{pmatrix}  || = \sqrt{y^2+x^2}=   ||\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}|| \)