Ich schrieb: "Nachtrag: mit Vektorrechnung kommst Du hier nicht weiter." da war ich zu voreilig, da geht schon was:
Es gibt acht unterschiedliche Springerzüge, von denen jeweils einer die Negation eines anderen ist. Die vier Züge
$$s_0=\begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix}, \space s_1=\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}, \space s_2=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}, \space s_3=\begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}$$
und ihre Negationen \(-s_0\) bis \(-s_3\) bilden alle acht Züge ab. Als Basis eines Vektorraums würden zwei der acht genügen, aber wir benötigen hier die obigen vier. Man nennt das ein Erzeugendensystem des Vektorraums. Nun kann man mit ganzzahligen Koeffizienten jede mögliche Zugfolge eines Springers beschreiben.
Deine Lösung oben entspricht dem Vektor \((1;1;1;2)^T\). das bedeutet, der Springer ist 1-mal um \(s_0\), 1-mal um \(s_1\), 1-mal um \(s_2\) und 2-mal um \(s_3\) gesprungen, um von \(c1\) nach \(e7\) zu kommen. Oder als Matrizen-Multiplikation:
$$\begin{pmatrix} -2&-1 &1 & 2\\ 1& 2& 2& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 7\end{pmatrix}$$ über die Reihenfolge der einzelnen Züge werden so keine Angaben gemacht! Umgekehrt, kann man alle Lösungen \(\vec{x}\) suchen, die folgende Gleichung erfüllen:
$$\begin{pmatrix} -2&-1 &1 & 2\\ 1& 2& 2& 1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 7\end{pmatrix}$$
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt, da weniger Gleichungen als Variablen vorhanden sind (zwei Gleichungen aber vier Komponenten von \(\vec{x}\)). Dazu führt man zwei Variablen \(s\) und \(t\) ein - und kommt auf folgende Lösungsmenge:
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{-11}{3} + \frac43 s + \frac53 t\\ x_1 &= \frac{16}{3} - \frac53 s - \frac43 t\\ x_2 &= s \\ x_3 &= t\end{aligned}$$ Eine zusätzliche Bedingung ist, dass die \(x_i\) ganzzahlig sein müssen. Ein Springer kann keine halben Züge ziehen! Aus den letzten beiden Gleichungen ist offensichtlich, dass \(s\) und \(t\) demnach auch ganzzahlig sein müssen. Und damit auch \(x_0,x_1 \in \mathbb{Z}\) sind, muss gelten:
$$s \equiv t + 2 \mod 3$$ In Deiner Lösung oben war \(x_3=t=2\). Dann kann \(s\) z.B. gleich -2, 1, 4 oder 7 sein. Also ein Wert bei der nach Division durch 3 immer der selbe Rest wie bei \((t=2)+2=4\) (also =1) übrig bleibt. Und wenn Du \(t=2\) und \(s=1\) oben einsetzt, so wirst Du sehen, dass der oben angegebene Lösungsvektor \(\vec{x}\) heraus kommt.
Durch freie Wahl von \(t\), und passende Wahl von \(s\) kann man nun beliebig viele Lösungen erzeugen. Ich konzentriere mich nun auf Lösungen, die nur aus 5 Zügen bestehen. So einen Lösungsvektor erkennt man daran, dass die Summe aller Beträge in Summe stets =5 ist. Man nennt dies die Summennorm bzw. 1-norm; bzw. formal
$$\lVert \vec{x} \rVert_1 = \sum_i |x_i|= 5$$
Jetzt kommt man relativ einfach durch Probieren recht schnell drauf, dass nur drei Lösungsvektoren mit der Norm=5 existieren. Das sind:
$$\vec{x}_a = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 4\\-1 \end{pmatrix}; \space \vec{x}_b = \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 2\\ 0\end{pmatrix}; \space \vec{x}_c = \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$$ Wir machen aber noch keine Aussage über die Reihenfolge. Allein bei \(\vec{x}_b\) sind 60 verschieden Zugfolgen möglich, von denen sich 54 vollständig auf dem Schachbrett befinden.
Das soll genügen. Sei bitte so nett und teile mir mit ob Du das verstanden hast, oder was Du nicht verstanden hast. Ich kann Deinen momentanen Ausbildungsstand schlecht einordnen?
Gruß Werner
