Aufgabe:
Ist das folgende ein Integritätsring?
\( \mathbb{Z}[\mathbf{i}]=\{a+\mathbf{i} b \in \mathbb{C} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \)
\((\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z})[X] \)
\( \mathbb{R}\left[X^{2}, X^{3}\right]=\left\{\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \mid n \in \mathbb{N}_{0}, a_{i} \in \mathbb{R}\right. \) und \( \left.a_{1}=0\right\} \) (Unterring von \( \mathbb{R}[X] \) )
(b) \( (\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z})[X] \)
(c) \( \mathbb{R}\left[X^{2}, X^{3}\right]=\left\{\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \mid n \in \mathbb{N}_{0}, a_{i} \in \mathbb{R}\right. \) und \( \left.a_{1}=0\right\} \) (Unterring von \( \mathbb{R}[X] \) )
(d) \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}]=\{a+\mathbf{i} b \in \mathbb{C} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \) (siehe Lineare Algebra I, Blatt 5, Aufgabe 3)
Problem/Ansatz:
Beim ersten, wäre es, wenn es kein Polynomring wäre ja durch die 6 kein Integritätsring, da es keine Primzahl ist, jedoch bin ich mir nicht sicher, wie es sich dann als Polynomring verhält.
Bei den anderen beiden bin ich noch unsicherer, jedoch denke ich, dass das zweite ein Integritätsring ist.
Ich wäre wirklich dankbar für Anhaltspunkte.
