Wie rechne ich von der Normalform von f(x)= -x²/2-2x-1 zur Scheitelpunktform?

Question

ich hab noch eine Frage: Wie berechne ich diese Funktion in Scheitelpunktform: f(x)= -x²/2-2x-1 ? Ich verstehe nicht wie ich die /2 rausbekomme. Am Ende muss die Scheitelpunktform so aussehen: F(x)= -1/2(x+2)²+1 !

Übrigens wurde die Frage wegen der Reziproke, Kehrwert super beantwortet von Matheretter.de - jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank.

Answer 1

Du musst -1/2 ausklammern und dann innerhalb der Klammer quadratisch ergänzen. Achte auf die Vorzeichen und darauf, dass sich innerhalb der 'grossen' Klammern Verdoppelungen ergeben, wenn man durch 1/2 teilt.

$$ f(x)=-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x-1\\ \\ f(x)=-\frac { { 1*x }^{ 2 } }{ 2*1 } -2x-1\\ f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }-2x-1\quad \quad \quad |-0.5\quad ausklammern\\ \\ f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { (x }^{ 2 }+4x+2)\quad \quad \quad \quad \quad |quadr.\quad ergänzen\\ f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { (x }^{ 2 }+4x+4-4+2)\quad \quad \quad \quad |Binom\\ f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { ((x+2) }^{ 2 }-2)\quad \quad \quad \quad \quad \quad |ausmultiplizieren\\ f(x)=-\frac { 1 }{ 2 } { (x+2) }^{ 2 }+1 $$

Answer 2

Du kannst hier einfach erstmal -1/2 aus allen Termen mit x ausklammern:

 

f(x) = -x²/2 - 2x -1 = -1/2*(x²+4x) -1

Die quadratische Ergänzung in der Klammer ist jetzt +4, also:
f(x) = -1/2*(x²+4x+4-4) -1 = -1/2*(x²+4x+4) +2 - 1 = -1/2*(x+2)² + 1

 

Nochmal zur quadratischen Ergänzung: das ist ja immer die Zahl, die den Ausdruck zur binomischen Formel macht. Die binomische Formel lautet

(a+b)² = a²+2ab+b²

In unserem Fall ist a=x und es stehen bisher nur die ersten beiden Terme da. Man "ergänzt" dann das b² und indem man es direkt wieder abzieht, verändert man den Term nicht.

Answer 3

f(x)= -1/2x^2 - 2x - 1

Zuerst den Faktor vor dem x^2 ausklammern

f(x)= -1/2(x^2 + 4x) - 1

Jetzt in der Klammer die Quadratische Ergänzung (die Hälfte von dem Faktor vor dem x zum Quadrat) hinzufügen.

f(x)= -1/2(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) - 1

Jetzt aus den ersten 3 Termen in der Klammer eine binomische Formel machen und den 4 Term in der Klammer mit ausklammern

f(x)= -1/2(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) - 1

f(x)= -1/2(x + 2)^2 + 1

Das ist dann die fertige Scheitelpunktform