$$\text{ Die Funktionen f und g seien an der Stelle x differenzierbar. } \\ \text{ Behauptung: p(x)=f(x)·g(x) ist an der Stelle x differenzierbar mit:} \\ p'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)\\ \text{ Beweis: } \\ p'(x) = \lim\limits_{h\to0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} = \\ =\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x)}{h} = \\ = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x) + [f(x)*g(x+h) - f(x)*g(x+h)]}{h} \\ = \lim\limits_{h\to0} \frac{[f(x+h) - f(x)]* g(x+h) + f(x)*[g(x+h) - g(x)]}{h} \\ = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} * g(x+h) + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} * f(x) = \\ = \lim\limits_{h\to0} f'(x)* g(x+h) + g'(x) * f(x) = \\ = f'(x)* g(x) + g'(x) * f(x)$$
