Eigenwert und Vektoren des Ableitungsoperator

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beispiel 7
Gegeben sei der Raum \( \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \) der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \). Welche Eigenwerte und -vektoren besitzt der Ableitungsoperator
\( D: \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}), \quad f \mapsto f^{\prime}, \)
welche der Operator der zweiten Ableitung
\( D^{2}: \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}), \quad f \mapsto f^{\prime \prime} ? \)
Geben Sie je mindestens ein Beispiel an.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Du hast folgendes Problem zu lösen. Mit \( D = \frac{d}{dx} \)

$$ D f = \lambda f $$ Das bedeute, D umusst die Dgl. \( f'(x) = \lambda f(x) \) lösen. Die Lösung ist bekanntlich

$$ f(x) = C e^{\lambda x} $$ mit \( C \ne 0 \) D.h. \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist ein Eigenwert und \( f(x) \) ein Eigenvektor.

Genauso wird die zweite Aufgabe gelöst.