Lineare Abbildung und ℂ-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Seien \( F=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{C} \)-Vektorraums \( V \) und \( L \in \) End \( (V) \) die lineare Abbildung gegeben durch: \( L: f_{1} \mapsto f_{2}, f_{2} \mapsto f_{3}, \ldots, f_{n-1} \mapsto f_{n}, f_{n} \mapsto f_{1} \).

a) Was ist die Matrixdarstellung für \( L \) bezüglich der Basis \( F \) ?
b) Berechne \( L^{2}, L^{3}, \ldots, L^{n} \).
b) Bestimme für \( n=3 \) und \( n=4 \) die Eigenwerte von \( L \).
d) Lassen sich die Eigenwerte ohne Benutzung des charakteristischen Polynoms bestimmen? (Vgl. Aufgabe 17.4)

Problem/Ansatz:

a) Matrixdarstellung von L bezüglich Basis F ist (f2,f3,...,fn,f1)
b) L^2 = (f3,f4,..fn, f1,f2)
L^3 = (f4,f5,....,f3)
L^n = (f1,f2,...fn)

Ist a und B richtig ?
hat jemand eine Idee für C ?
Ich wollte das charakteristische Polynom ausrechnen, komm aber nicht auf die Nullstellen davon

Answer 1

Seien \(e_1,\cdots,e_n\) die Standardeinheitsvektoren,

dann hat \(L\) die Matrixdarstellung \(A_L=(e_2:\cdots:e_n:e_1)\).

Wenn du also bei dir die \(f_i\) durch die \(e_i\) ersetzt, bekommst

du die korrekten Antworten,

insbesondere ergibt sich so \(A_L^n-E_n=0\) mit der Einheitsmatrix \(E_n\).

Das Minimalpolynom \(m_L\) ist daher ein Teiler von \(X^n-1\), und da keine

kleinere Potenz von \(A_L\) die Einheitsmatrix ergibt, ist \(m_L=X^n-1\).

Die Nullstellen von \(m_L\) sind die \(n\) \(n\)-ten Eiheitswurzeln.

Also sind die Eigenwerte von \(L\) genau die \(n\)-ten Einheitswurzeln.