Matrix / Ermitteln Parameter / Flugbahn

Question

Aufgabe

Die Flugbahn einer Kugel kann annahernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden
\( y=b_{1}+b_{2} \cdot x+b_{3} \cdot x^{2}, \)
wobel \( x \) die zurückgelegten Meter der Kugel, \( y \) die Hohe der Kugel in Metern, und \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) die Parameter der Kugel bezeichnen.
Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline\( x_{i} \) & 4 & 8 & 13 & 14 \\
\hline\( y_{i} \) & 68 & 108 & 124 & 122 \\
\hline
\end{tabular}
a. Ermitteln Sle den Parameter \( b_{1} \) der Flugbahn.
b. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{2} \) der Flugbahn.
c. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{3} \) der Flugbahn.
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 23 Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?
\( x=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 16 \\ 1 & 8 & 64 \\ 1 & 13 & 169 \\ 1 & 14 & 196\end{array}\right) j y\left(\begin{array}{c}68 \\ 108 \\ 124 \\ 122\end{array}\right) j x\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 8 & 13 & 14 \\ 16 & 64 & 169 & 196\end{array}\right) \)
\( x^{T} x=A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 8 & 13 & 14 \\ 16 & 64 & 169 & 196\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 16 \\ 1 & 8 & 64 \\ 1 & 13 & 169 \\ 1 & 14 & 196\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4 & 39 & 445 \\ 39 & 445 & 5517 \\ 445 & 5512 & 71329\end{array}\right) \)
\( x^{T} y=C=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 8 & 13 & 14 \\ 16 & 64 & 169 & 196\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}68 \\ 108 \\ 124 \\ 122\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}442 \\ 4456 \\ 52868\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 16 \\ 1 & 8 & 64 \\ 1 & 13 & 169 \\ 1 & 14 & 196\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}68 \\ 108 \\ 124 \\ 122\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

komme beim rechnen leider nicht weiter, habe Schwierigkeiten beim ermitteln der Parameter.. bitte um Hilfe wie ich nun weiter vorgehe, meinen Ansatz habe ich hochgeladen. Danke und verzweifelte Grüße

Answer 1

Aloha :)

Du bist fast richtig. Bis einschließlich der Multiplikation mit der transponierten Koeffizientenmatrix stimmt alles. Du musst nur die finale Gleichung anders zusammenbauen:$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 39 & 445\\39 & 445 & 5517\\445 & 5517 & 71329\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}442\\4456\\52868\end{array}\right)$$Das liefert dann die Lösung:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\approx\left(\begin{array}{r}3,2267\\19,2582\\-0,7685\end{array}\right)$$

~plot~ {4|68} ; {8|108} ; {13|124} ; {14|122} ; [[0|26|0|130]] ; 3,2267+19,2582*x-0,7685*x^2 ~plot~