Maximalen Definitionsbereich bestimmen / Differenzierbarkeit und Ableitung

Question

Folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es geht um die Funktion \( \vec{f}: \mathbb{R}^{2} \supseteq D \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit

\( \vec{f}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{3 x-y^{2}} \\ \frac{x}{\sin (y)}+\ln (x) \end{array}\right) \)

1. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \subseteq \mathbb{R}^{2} \text { von } \vec{f} \)

2. Begründen Sie, warum \(\vec{f}\) im Inneren von \( D \)  differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung

Problem / Ansatz

Würde gerne um eine Lösung bitten, verstehe das alles noch nicht ganz!

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Es gibt 3 Problemfelder:

3x-y^2 ≥ 0 damit die Wurzel definiert ist, also 3x ≥ y^2

sin(y)≠0 wegen 0 im Nenner also y≠n*pi , n∈ℤ

x>0 damit der ln() definiert ist.

Also x>0 und 3x ≥ y^2 und   y≠n*pi

Wegen der letzten Bedingung ist y≠0, also y^2>0 und damit

folgt x>0 schon aus 3x ≥ y^2 .

Bleibt an Einschränkung 3x ≥ y^2 und y≠n*pi

Also D={(x;y) | 3x ≥ y^2 und y≠n*pi für alle n∈ℤ }