Zeigen Sie, dass s eine Bilinearform ist, und bestimmen Sie die darstellende Matrix Ma(s) von s bezüglich der …

Question

Aufgabe: Die linearen Abbildungen φ, ψ : R→R seien gegeben durch φ(ν) = ⟨α,ν⟩  und ψ(ν) = ⟨b,v⟩ mit a,b ∈R^n. Wir

definieren eine Abbildung s : R^n x R^n → Rn als s(v,w) := φ(v)*ψ(w)

Zeigen Sie, dass s eine Bilinearform ist, und bestimmen Sie die darstellende Matrix Ma(s) von s bezüglich der kanonischen Basis A des R^n

Problem/Ansatz: Da seit Semesterbeginn Analysis2 und La 2 an der Uni höre, das erste Semester aber nur an der Fernuni machen konnte, wo die Unterstützung nicht sehr gut war, muss ich noch verschiedenes nachholen, es geht hier aber besser als an der Fernuni. Bei dieser Aufgabe habe ich auch Probleme mit der darstellenden Matrix, hier fehlt mir noch etwas der Durchblick. Dann wäre es gut, wenn ich Hinweise bekäme, wie ich hier Schrittweise vorangehen sollte.

Answer 1

Hallo,

ich fange mal langsam an mit der Frage: Welche Eigenschaft muss s denn erfüllen, damit es eine Bilinearform ist (und wie kann man die Überprüfen)?

Falls es dir nur um den Matrix-Teil der Aufgabe geht: Wie ist die darstellende Matrix einer Bilinearform definiert?

Wenn die Frage gar nicht hilft, kann ich auch etwas mehr dazu sagen. Generell ist es bei solchen Aufgaben immer gut bei den Definitionen zu starten.

LG Dojima

Comments

Für mich wäre es gut, wenn du etwas mehr dazu sagen könntest, da das so eine Sache ist, wo ich etwas Verständigungsschwierigkeiten habe.

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Ok, dann erstmal zur Bilinearform:
Wenn man zwei Vektorräume \(V,\,W\) über dem selben Körper \(K\) hat, dann ist eine Bilinearform einfach eine Abbildung die einen Vektor \(v\in V\) und ein \(w\in W\) nimmt und auf ein Skalar, das heißt ein Element \(\lambda\in K\) abbildet. Dabei soll die Abbildung sowohl linear in \(v\) als auch in \(w\) sein.
Mathematisch präzise heißt das:

Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume über \(K\), dann heißt eine Abbildung \(s:\,V\times W\to K\) Bilinearform, falls:

(1) \(s(u+v,\,w)=s(u,w)+s(v,w)\) für alle \(u,v\in V\) und \(w\in W\)

(2) \(s(\alpha v,\, w)=\alpha s(v,\,w)\) für alle \(v\in V,\, w\in W,\, \alpha\in K\)

(3) \(s(v,w+x)=s(v,w)+s(v,x)\) für alle \(v\in V,\, w,x\in W\)

(4) \(s(v,\beta w)=\beta s(v,w)\) für alle \(v\in V,\, w\in W,\, \beta \in K\)

Die Aufgabe besteht nun darin anhand dieser Definition zu prüfen, ob s wie in der Aufgabe gegeben eine Biliniearform ist. Das heißt die Eigenschaften (1)-(4) sind zu überprüfen.

Eine Biliniearform solltest du schon kennen: Skalarprodukte über reellen Vektorräumen sind Bilinearformen. Später in LinA2 wirst du sicher noch mehr sehen.

Edit: Was bedeutet z.B. die Eigenschaft (1) im Kontext dieser Aufgabe?