Question

Sei K ein Körper. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
Für A ∈ K^m×n, B ∈ K^n×r und C ∈ K^r×s gilt A · (B · C) = (A · B) · C.

Answer 1

Mit

    $\begin{aligned} A & =\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} & B & =\begin{pmatrix}b_{11} & \dots & b_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & \dots & b_{nr} \end{pmatrix}\\ C & =\begin{pmatrix}c_{11} & \dots & c_{1s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{r1} & \dots & c_{rs} \end{pmatrix} & A\cdot\left(B\cdot C\right) & =\begin{pmatrix}d_{11} & \dots & d_{1s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ d_{m1} & \dots & d_{ms} \end{pmatrix} \end{aligned}$

ist

    $\begin{aligned} d_{ij} & =\sum_{p=1}^{n}a_{ip}\sum_{k=1}^{r}b_{pk}c_{kj} \end{aligned}$.

Stelle ebenso einen Term für die Einträge von $(A\cdot B)\cdot C$ auf und zeige dass sie gleich sind.