Bestimmen Sie die dritte Komponente des Lösungsvektors (Determinanten Cramer)

Question

Matrix \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) ∈ R^3x3 mit a ∈ R.

und es gilt: Ax=b mit b = (b₁,b₂,b₃).

Bestimmen Sie die dritte Komponente des Lösungsvektors x = (x₁, x₂, x₃), d.h. berechnen Sie x₃.

Ich vermute mal, ich muss die Cramersche Regel benutzen. Versteh aber nicht wie.

Answer 1

Mit Cramer geht es hier recht einfach, da sich die Determinanten leicht berechnen lassen.

Es gilt:

$${ x }_{ 3 }=\frac { \begin{vmatrix} 0 & 1 & { b }_{ 1 } \\ 2 & 2 & { b }_{ 2 } \\ 0 & 1 & { b }_{ 3 } \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} } =\frac { 2b_{ 1 }-2{ b }_{ 3 } }{ -4 } =0,5({ b }_{ 3 }-{ b }_{ 1 })$$

 

Wenn du es nicht mit Cramer machen willst, geht es auch so:

A x = b

<=> x = A ^-1 b

Bestimme also A ^-1, die Inverse zu A, etwa indem du die um die Einheitsmatrix erweiterte Matrix A

$$\left( { \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$

durch elementare Zeilenoperationen so umformst, dass die Einheitsmatrix auf der linken Seite steht. Es ergibt sich:

$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & 0,5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -0,5 & 0 & 0,5 \end{matrix} } \right)$$

Auf der rechten Seite steht dann die Inverse zu A, also:

$${ A }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} -1 & 0,5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -0,5 & 0 & 0,5 \end{matrix} \right)$$

Damit ergibt sich:

$$x=A^{ -1 }b=\left( \begin{matrix} -1 & 0,5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -0,5 & 0 & 0,5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { -b_{ 1 } }+0,5b_{ 2 } \\ { b }_{ 1 } \\ -{ 0,5 }{ b }_{ 1 }+0,5b_{ 3 } \end{matrix} \right)$$

Also:

$${ x }_{ 3 }=0,5({ b }_{ 3 }-{ b }_{ 1 })$$

Answer 2

da \( b_3 \) sich aus \( x_3 \) gemäß

\( b_3 = \sum A_{3i} x_i = x_2 + 2 x_3 \)

ergibt, gilt

\( x_3 = \frac{1}{2} (b_3 - x_2) \).

Die dritte Komponente des Lösungsvektors setzt in dieser Darstellung die Bekanntheit der zweiten Komponente des Lösungsvektors sowie der Komponente \( b_3 \) voraus.

MfG

Mister

PS: Die Cramer'sche Regel funktioniert sehr leicht durch Einsetzen und Determinanten-Bestimmung. Du erhältst dann eine Darstellung für \( x_3 \), die linear von \( b_1 \) und \( b_3 \) abhängt:

\( x_3 = \frac{(2 b_1 - 2 b_3)}{-4} = \frac{1}{2} b_3 - \frac{1}{2} b_1 \).