Vielleicht so: Die Teilfolge konvergiert gegen a.
Sei ε>0. Dann gibt es ein N, so dass für die
Folgenglieder der Teilfolge gilt für alle i>N |ai - a| <ε/2
Da die Folge selbst eine Cauchy-Folge ist, gibt es ein M,
so dass für alle Folgenglieder mit Index n,m größer M gilt
| an - am | < ε/2
Sei nun K = max{N,M} dann gilt für die Indices größer K beides.
Alle Folgenglieder der Teilfolge liegen in der ε/2 Umgebung von a
und die anderen Folgenglieder unterscheiden sich von denen der
Teilfolge um weniger als ε/2, also liegen alle in der
ε-Umgebung von a.
==> Die Folge konvergiert gegen a.