Teilfolgen von Cauchy-Folgen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Ist (an) eine Cauchy-Folge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, so konvergiert (an)
bereits.

Problem/Ansatz:

Hey, ich habe so meine Probleme bei dieser Aufgabe, an sich verstehe ich die Cauchy-Folge, aber komme einfach nicht zu einem sinnvollen Beweis, ich wäre sehr froh über Hilfe.
MFG

Answer 1

Vielleicht so:  Die Teilfolge konvergiert gegen a.

Sei ε>0.  Dann gibt es ein N, so dass für die

Folgenglieder der Teilfolge gilt für alle i>N   |a_i - a| <ε/2

Da die Folge selbst eine Cauchy-Folge ist, gibt es ein M,

so dass für alle Folgenglieder mit Index n,m größer M gilt

                | a_n - a_m | < ε/2

Sei nun K = max{N,M} dann gilt für die Indices größer K beides.

Alle Folgenglieder der Teilfolge liegen in der ε/2 Umgebung von a

und die anderen Folgenglieder unterscheiden sich von denen der

Teilfolge um weniger als ε/2, also liegen alle in der

ε-Umgebung von a.  

==>  Die Folge konvergiert gegen a.