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Aufgabe 33
(1) Finden Sie für alle unten angegebenen Permutationen \( \sigma_{i} \in S_{7} \) jeweils Darstellungen in Matrixschreibweise, als Produkt von elementfremden Zykeln und als Produkt von Transpositionen und berechnen Sie die Signatur:
\( \begin{array}{rlrllll} \sigma_{1} & =\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 2 & 4 & 7 & 1 & 3 & 5 \end{array}\right), & \sigma_{2} & =\left(\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 5 & 2 & 6 & 1 & 7 & 4 \end{array}\right) \\ \sigma_{3} & =(1473)(526), & \sigma_{4} & =(1732)(5674)(12), \\ \sigma_{5} & =(12)(23)(45)(27)(24), & \sigma_{6} & =\sigma_{4} \sigma_{1} \sigma_{3} \end{array} \)
(2) Sei \( \sigma \in S_{m} \) eine Permutation und \( K \) eine Körper. Bestimmen Sie eine Matrix \( A_{\sigma} \in \operatorname{Mat}_{m}(K) \), sodass für alle \( X \in K^{m} \) gilt für alle \( i \in\{1, \ldots, m\} \) :
\( \left(A_{\sigma} X\right)_{i}=X_{\sigma(i)} \)
Problem/Ansatz:
könnte mir bitter hier wer bei (1) & (2) weiterhelfen bin leider etwas planlos hier....
