Greensche Funktionen: α > 0 bestimmen, sodass Gleichheit entsteht

Question

Sei f : IRⁿ\{0} → IR, n > 2 gegeben durch f(x) = \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) (x²_i)^−α. Bestimme α > 0 so, dass
\( \sum\limits_{j=1}^{n}\) (δ² f) / (δ x²_j )= 0

Comments

Wenn dort steht \(\sum x_i^{-2a}\), dann kannst Du doch die Ableitungen einfach ausrechnen.

Oder steht in der Aufgabe \(\left( \sum x_i^2\right) ^{-a}\)?

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Hat sich erledigt??

Answer 1

Ich vermute mal es soll heissen

$$ f(x) = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\alpha} $$ Dann folgt

$$  f_{x_i}(x) = -2 \alpha \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\alpha-1} x_i $$ und

$$ f_{x_i x_i}(x) = 2 \alpha \left[ \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\alpha-2} 2 (\alpha + 1) x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\alpha-1}  \right]  $$

Und dann folgt

$$ \sum_{i=1}^n f_{x_i x_i}(x) = 2 \alpha \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\alpha-1} \left[ 2(\alpha+1) - n   \right] $$

und der Ausdruck ist Null für $$ \alpha = \frac{n}{2} - 1 $$

Und das gilt auch nur für \( n > 2 \) Ansonsten ist \( \alpha \) nicht größer \( 0 \)