Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils eine Basis für Kern und Bild

Question

Text erkannt:

Aufgabe 37
Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils eine Basis für Kern und Bild:
(i) \( \varphi_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ;\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}-2 x_{2}, x_{2}+x_{1}\right) \)
(ii) \( \varphi_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}-x_{2},-2 x_{1}+3 x_{2}, 2 x_{2}-x_{1}\right) \)
(iii) \( \varphi_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left(-3 x_{1}+x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}, 2 x_{3}-x_{1}\right) \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hey kann mir wer hier weiterhelfen wie man eine Basis für Kern und Bild bestimmt? Hätte mir auch schon einige Lösungswege zu sehr ähnlichen Beispielen angesehen verstehe es leider aber immer noch nicht...

Answer 1

Hallo

Kern: (x 1-2x2,x2+x1)=(0,0) also x1-2x2=0 und x2+x1=0  also x1=-x2 und x1=2x2

nur für x1=x2=0  also kern ist 0

Bild: bestimme die Bilder der Standardbasisvektoren, die bestimmen das Bild  also (1,0)->(1,0), (0,1)->(-2,1) die 2  Bilder sind linear unabhängig also spannen sie gan R^2 auf, du kannst die als Basisvektoren nehmen oder die Standardbasen.

wenn die Bilder nicht alle linear unabhängig sind musst du halt als Basis ds Bildes die Lin. unabhängigen nehmen.

entsprechend gehst du in den anderen Fällen vor.

Comments

Hey woher weißt du beim Kern gleich dass der 0,0 ist und woher nimmst du die Zahlen beim Bild? Könntest du mir eventuell die anderen zwei auch noch erklären? und sorry für die vielen Fragen...

---

hallo

der Kern ist die menge der Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. Wie definierst du denn "Kern"

Das Bild bekommt man indem man drei (bzw bei R^n n)  linear unabhängig Vektoren abbildet, am einfachsten deshalb die Standardbasisvektoren,

Gruß lul

---

Könntest du mir bei den anderen auch noch helfen steh hier einfach total auf der Leitung...

---

hallo

die gehen doch alle nach demselben Muster, einfach vorrechnen will ich nicht, bin aber gern bereit deine gezielten Versuche zu kommentieren oder zu korrigieren, Wie man etwa die Komponenten =0 für den Kern nicht lösen kann, oder die Standardbasisvektoren in die funktion einsetzt kann doch nicht so schwer sein? du musst schon genauer fragen, oder einfach mal losrechnen.

lul

---

ja =0 geh ja noch aber woher weiß ich am Ende dass z.B der Kern 0 ist? und leider kenn hab ich auch noch nie was von Standardbasisvektoren gehört...

---

Hallo

Der einer Abb st doch definiert als Bild ist 0, und wenn du

x 1-2x2= 0, Und x2+x1=0 setzt siehst du dass das nur für x1=x2=0 möglich ist also ist der Kern nur 0 und das weisst du dann auch , deshalb versteh ich die Frage "woher weiß ich am Ende dass z.B der Kern 0 ist?" nicht.

wenn du einen Vektor als (x1,x2) hinschreibst meinst du doch eigentlich x1*\( \begin{pmatrix} 1\\0\ \end{pmatrix} +x2* \begin{pmatrix} 0\\1\ \end{pmatrix}\)

und \( \begin{pmatrix} 1\\0\ \end{pmatrix} ist der erste Standardbasisvektor, usw.

und bei (x1,x2)-> (x1-x2,-2x1+3x2, 2x2-x1) wird

(1,0) nach (1,-2,-1) abgebildet  und (0,1) nach (-1,3,2)

das sind als die 2 spalten der Abbildungsmatrix.

dass du noch nie die Standard Basisvektoren bzw. die üblichen gesehen hast ist eigenartig, mit welcher basis arbeitet ihr denn normalerweise?

Also nenn deine Schwierigkeiten genau.

lul

 

---

ok jetzt wirds langsam klarer. Also dann ist meiner Meinung nach der (ii) Kern auch 0 der (iii) aber nicht aber wenns nicht null ist was ists dann?