Untersuchen Sie jeweils, ob die Funktion einen Grenzwert besitzt

Question

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Untersuchen Sie jeweils, ob die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} \) einen Grenzwert besitzt für \( (x, y) \rightarrow(0,0) \), und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
(i) \( f(x, y)=\frac{x^{4}+|y|}{\sqrt{x^{4}+|y|+1}-1} \),
(ii) \( f(x, y)=\frac{y x}{\mathrm{e}^{y^{2}}-1+x^{2}} \).

Hänge an dieser Aufgabe. Kann jemand hier vielleicht jemand die Aufgaben lösen?

Answer 1

Hallo,

(i) Zur Abkürzung: \(A:=x^4+|y|\), dann

$$f(x,y)=\frac{A}{\sqrt{A+1}-1}=\frac{A(\sqrt{A+1}+1)}{A+1-1}=\sqrt{A+1}+1 \to 2$$

(ii) Wir habe \(f(0,y)=0\) für \(y \neq 0\), aber

$$f(x,x)=\frac{x^2}{\exp(x^2)-1+x^2} \to 0.5$$

(etwa mit Hilfe der Regel von l'Hospital). Wir sehen also, dass man verschieden Grenzwerte erhält in Abhängigkeit davon, wie man den Nullpunkt ansteuert. Daher existiert der Funktionsgrenzwert nicht.

Gruß Mathhilf