Sei \( f \) stetig und \( y \in f(\bar{A}) \). Es existiert also ein \( x \in \bar{A} \operatorname{mit} f(x)=y \). Gilt \( x \in A \backslash \partial A \) so natürlich auch
\( f(x) \in f[A] \Longrightarrow y \in f[A] \subseteq \overline{f[A]} \)
Ist hingegen \( x \in \partial A \) so gibt es irgendeine Folge \( \left(x_{n}\right) \subseteq A \) mit \( x_{n} \rightarrow x \) und aufgrund der Stetigkeit von \( f \) konvergiert die Folge \( \left(f\left(x_{n}\right)\right) \subseteq \overline{f[A]} \) zu \( f(x)=y \). Da \( \overline{f[A]} \) abgeschlossen ist muss aber der Grenzwert in der Menge enthalten sein, also \( y=f(x) \in \overline{f[A]} \).
Für die andere Richtung kann man z.B. die äquivelente Definition der Stetigkeit benutzen, nämlich dass das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sein muss.
Also nehmen wir an, für alle \( A \subseteq X \) gilt \( f[\bar{A}] \subseteq \overline{f[A]} \). Sei nun \( G \subseteq Y \) eine beliebig abgeschossene Menge. Wir wollen zeigen, dass nun auch \( B=f^{-1}[G] \subseteq X \) abgeschlossen ist. Es ergibt sich
\(\begin{aligned} \mathrm{f}[\overline{\mathrm{B}}] \subseteq \overline{\mathrm{f}[\mathrm{B}]}=\overline{\mathrm{f}\left[\mathrm{f}^{-1}[\mathrm{G}]\right]} \subseteq \overline{\mathrm{G}}=\mathrm{G} \Longrightarrow \overline{\mathrm{B}} \subseteq \mathrm{f}^{-1}[\mathrm{G}]=\mathrm{B}\end{aligned}. \)
