Reelle Zahlen und deren Charakterisierung

Question

Aufgabe:

Ist 0 < a < b, so ist a^2 < b^2. Sind a, b > 0 mit a^2 < b^2, so ist a < b.
Ohne die Verwendung von Satz (Ist a > 0, so ist a^−1 > 0. Ist a < 0, so ist a^−1 < 0) oder (Ist 0 < a < b, so ist a2 < b2. Sind a, b > 0 mit a2 < b2, so ist a < b).

Problem/Ansatz:

BItte um Hilfe bei dieser Frage.

Answer 1

Hallo

a) 0<a<b folgt 0< a+b

a^2-b^2=(a-b)*(a+b)<0 folgt wegen a  a-b<0

das umgekehrte entsprechend. mit (a-b)<0 anfangen mit (a+b) mal-

lul

Answer 2

Aloha :)

zu 1) \(0<a<b\implies a^2<b^2\)

Wegen \(a<b\) ist \((b-a)>0\). Wegen \(a,b>0\) ist \((a+b)>0\), daher gilt:$$\underbrace{(b-a)}_{>0}\,\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b^2-a^2>0\implies a^2<b^2$$

zu 2) \(a,b>0\;\land\; a^2<b^2\implies a<b\)

Wegen \((a,b>0)\), ist \((a+b)>0\) und es gilt:$$a^2<b^2\implies b^2-a^2>0\implies(b-a)\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b-a>0\implies a<b$$