Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen

Question

Aufgabe:

 1. Seien a, b ∈ R. Beweisen Sie:

(a) Ist a > 0, so ist a^−1 > 0.
(b) Ist 0 < a < b, so ist a^2 < b^2. Sind a, b > 0 mit a^2 < b^2, so ist a < b.
Die Verwendung von Satz (Ist a > 0, so ist a^−1 > 0. Ist a < 0, so ist a^−1 < 0) oder (Ist 0 < a < b, so ist a^2 < b^2. Sind a, b > 0 mit a^2 < b^2, so ist a < b) ist nicht erlaubt.

2. Es sei 0 < a ≤ b. Zeigen Sie, dass
a^2  ≤ (2ab/a + b)^2 ≤ ab ≤ (a + b/2)^2 ≤ b^2
.

Problem/Ansatz:

ich finde diese Aufgabe sehr schwierig, würde mir jemand dabei helfen. Danke

Answer 1

Ist a > 0, so ist a^(−1) > 0.

Etwa so: Sei a>0 . Angenommen, es wäre a^−1 ≤ 0.

1. Fall a^(−1) = 0. Dann folgt (wegen 0 mal irgendwas ist immer 0.)

            a * a^−1 = a * 0 = 0   im Widerspruch zu a * a^−1 =1

2. Fall a^(-1) < 0 .

Dann beachte : Ungleichung mit neg. Wert multipliziert,
                        dreht das Ungleichheitszeichen um.

                      a > 0   | *a^(-1)

==>               a *a^(-1) <  0 *a^(-1)

==>                            1  <  0 .    Widerspruch !

Also bleibt nur a^(−1) > 0.