Berechnen Sie den Seebeckkoeffizienten als Funktion der Temperatur durch Differenzieren.

Question

Hallo,

anbei geht es um eine Versuch im Physikalische Praktikum (Thermospannung) und ich habe einen anderen Ansatz als mein Partner und würde mich deswegen sehr um eine dritte/ vierte Meinung bitten, da wir auf keinen grünen Zweig kommen.

Aufgabe:

Berechnen Sie den Seebeckkoeffizienten als Funktion der Temperatur durch Differenzieren.

α= dU_T / dT
(Anm: Alpha ist hier der Koeffizient)

Problem/Ansatz:

Ich habe integriert und bin dann darauf gekommen, dass α = ( U_i+1 - U_i) ÷ (T_i+1-T_i) ist und hätte meine Messdaten einfach eingesetzt.

Dies erscheint mir sinnvoll, da wir die Funktion auch zeichnen sollen.

Nun haben wir im Vorfeld eine Parabel an die Messdaten angepasst und der zweite Ansatz wäre, dass die Parabelgleichung abgeleitet wird.

Damit hat er α_T = 2αT+α (?)

Wobei ich aber nicht verstehe, wie er da auf einen logischen Wert kommen möchte, da uns im Vorfeld schon gesagt wurde, dass eine Lineare Regression in diesem Fall auch ausreicht. Und in meinen Augen ein α_T eine ‚Nichtsaussage‘ ist. Stehe aber gerne in solchen Dingen auf der Leitung, deswegen nun hier :)

Vielen Dank für das Feedback!

Comments

Zunächst mal möchte ich dir nur mitteilen, dass "differenzieren" das Gleiche bedeutet, wie "ableiten".

Steht in der Aufgabe also: "Berechnen Sie den Seebeckkoeffizienten als Funktion der Temperatur durch Differenzieren.", dann soll man in der Regel auch ableiten und nicht integrieren.

---

Hallo, danke für die Antwort :)

Mir ist bewusst, dass ‚differenzieren‘ ‚ableiten‘ bedeutet, aber wie soll man bei zwei Variablen das sonst wegbekommen, außer ein Integral drauf zu hauen?

Aber verstehe den Punkt, was ja wiederum für den Ansatz meines Kollegen spricht.

(Formel nach f= g/h ist hier nicht tragbar)

Answer 1

Die Dgl. $$ \frac{dU}{dt} = \alpha $$ hat die allg. Lösung $$ U(t) = \alpha t + \beta $$

wobei \( \beta \) durch die Afangsbedingung festgelegt ist. Jetzt sind die Messungen an \( U(t) \) wahrscheinlich fehlerbehaftet, s.d. sich folgendes klasssiche Modell ergibt

$$ U(t) = \alpha t + \beta + \varepsilon $$ und \( \varepsilon \) ist die Modellabweichung.

Das löst man am besten durch eine Lineareregression, was Du ja wohl auch schon gemacht hast.

Man kann natürlich den Koeffizienten \( \alpha \) auch durch den Differenzenquotienten der Dgl. schätzten, nämlich so wie Du hingeschrieben hast

$$ \tilde \alpha_i = \frac{  U(t_{i+1}) - U(t_i) } { t_{i+1} - t_i } = \alpha + \frac{\varepsilon_{i+1} - \varepsilon_i } { t_{i+1} - t_i } $$ Dann bekommst Du eine Menge von Werten für die \( \tilde \alpha_i \). Die beste Schätzung für die Geradensteigung ist dann das Mittel über alle \( \tilde \alpha_i \).

Durch den Messfehler variieren die Werte von \( \tilde \alpha_i \) aber stark, s.d am Ende auf dieses Art und Weise eine schlechte Schätzung von \( \alpha \) zustande kommt. Insbesondere dann, wenn die Messintervalle nicht äquidistant sind sondern zufällig und auch sehr nah beieinander liegen können.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Wir hatten den Bericht dann schon abgegeben und mit der Ableitung der Parabelgleichung gearbeitet, den Graph gezeichnet und dann nochmals die Werte mit dem Differentialquotienten überprüft.

Hat super funktioniert und freue mich nochmal über das Feedback :)