Aufgabe:
Man betrachte die Funktion
$$ f(x) := x^{\frac{1}{4}} $$
für
$$ x > 0 $$ .
Man zeige für
$$ x >= 1 $$
gilt
$$ |f(x) - P_{3}(f, x, 1)| <= \frac{1}{10} |x-1|^{4} $$
Problem/Ansatz:
Ich komme auf $$ P_{3}(f, x, 1) = 1 + \frac{1}{4} (x-1) - \frac{3}{32} (x-1)^{2} + \frac{7}{128} (x-1)^3 $$
Aber von da komme ich nicht weiter, weil ich mir nicht sicher bin, wie ich das zu zeigende zeigen soll.
Eine Idee die ich hatte war folgende:
Das n-te Glied des Taylorpolynom ist größer als das (n-1)te Glied, wenn also das 4. Glied kleiner als $$ \frac{1}{10} |x-1|^{4} $$ ist, dann müsste auch der Fehler des Taylorpolynom 3. Grades kleiner sein, oder?
