Ableitungen für einen Bruch bestimmen

Question

Aufgabe: Es soll die erste und zweite Ableitung zu der Funktion :

f(x)= (x^3)/2(x^2-1) errechnen.

Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung habe ich alleine geschafft, ich komme nun bei der zweiten Ableitung nicht weiter. Mit ist auch die umformung

u/v = (u'*v-v'*u/v^2) bekannt.

Die erste Ableitung lautet f'(x)=(x^4-3x^2)/((x^2-1)^2), und laut Lösungsblatt ist diese auch richtig. Trage ich aber nun u,u',v' und v ein

(4x^3-6x)*(x^4-2x^2+1) - (4x^3-4x)*(x^4-3x^2)/((x^2-1)^2)^2

leider komme ich nur bis f''(x)= (2x^5+4x^3-6x)/((x^2-1)^2). Laut lösung wäre f''(x)= (2x^3+6x)/(x^2-1)^3 richtig.

Kann mir jemand helfen ?

Comments

f(x)= (x3)/2(x2-1)

Falls f(x)= (x3)/(2(x2-1)) gemeint sein sollte, dann sollst Du f(x)= (x3)/(2(x2-1)) schreiben und nicht f(x)= (x3)/2(x2-1).

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Mit ist auch die umformung u/v = (u'*v-v'*u/v²) bekannt.

Das ist keine Umformung.

Mit einer Umformung wird aus einem Term ein dazu äquivalenter Term gemacht.

Die Terme u/v und (u'*v-v'*u/v²) sind nicht äquivalent.

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Und wie nennt man sowas dann ?

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Nun ja, da steht ein Gleichheitszeichen, also ist es eine Gleichung.

Ich vermute du wolltest ausdrücken:

        Die Ableitung von \(\frac{u}{v}\) ist \(\frac{u'v - v'u}{v^2}\).

Das darf man zum Beispiel so aufschreiben:

    \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}\)

Answer 1

$$f(x) = \frac{x^3}{2*(x^2-1)} \\ f'(x) = \frac{x^4-3x^2}{2*(x^2-1)^2} = \frac{-1}{4(x+1)^2} + \frac{-1}{4(x-1)^2} + 1/2 \\ f''(x) = \frac{1}{2*(x+1)^3} + \frac{1}{2*(x-1)^3} \\ \text{zusammenfassen: }\\ f''(x)  = \frac{x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} \\ \text{Die angegebene Lösung ist um den Faktor 2 zu gross.} \\ \text{--------------------------------------------------------------------------} \\ \text{Die umständliche Lösung sieht so aus:} \\ f'(x) = \frac{x^4-3x^2}{2*(x^2-1)^2} \\ u(x) = x^4-3x^2 \\u'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2-3) \\ v(x) = 2(x^2-1)^2  = 2(x^4-2x^2+1) = 2x^4-4x^2+2 \\v'(x) = 8x^3-8x = 8x(x^2-1)  \\f''(x) = \frac{u'*v - v'*u}{v^2} = \\\frac{(2x(2x^2-3))*(2(x^2-1)^2) -(8x(x^2-1))* ( x^4-3x^2) }{4(x^2-1)^4} = \\ \frac{\bold{ 4x(x^2-1)}*[(2x^2-3)(x^2-1) -2( x^4-3x^2)] }{4(x^2-1)^4} =  \\ \\ \frac{ x[(2x^2-3)(x^2-1) -2( x^4-3x^2)] }{(x^2-1)^3} =  \\ \\ \frac{ x[(2x^4-3x^2-2x^2+3 -2x^4+6x^2)] }{(x^2-1)^3} =  \\ \\ \frac{ x[(-3x^2-2x^2+3 +6x^2)] }{(x^2-1)^3} = \frac{ x(3 +x^2) }{(x^2-1)^3} \\ $$

Comments

Ich kann Ihrer Lösung leider nicht folgen. Wie kommen Sie denn von f'(x) auf = -1 /4(x+1)^2+-1 /4(x-1)^2

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Die erste Ableitung "schreit" danach, in einzelne Brüche zerlegt zu werden (Partialbruchzerlegung), denn (x^2-1)^2 = (x+1)^2*(x-1)^2. Damit wird die Berechnung der zweiten Ableitung wesentlich einfacher.

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Das macht Sinn, aber wie kommen sie vom Zähler "-1" wieder auf den Zähler links ? und woher kommt die 4 und +1/2?

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Ich sehe ein, dass die Partialbruchzerlegung zu weit hergeholt ist. Ich habe deshalb meine Antwort um die herkömmliche Lösung erweitert.

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Vielen Dank für Ihre Mühe. Könnten Sie vielleicht noch erklären wie sie auf v' kommen ? ich komme da auf v'(2x^4-4x^2+2) bzw. 2x(x^3-2x+1)

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Habe meine Antwort ergänzt und u' und v' detaillierter dargestellt.

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Könnten Sie vielleicht hier noch erklären wie sie in der zweiten Zeile ihrer Rechnung auf die Werte in den [] kommen ? das aus 2x(2x^2-3) = 4x(x^2-1) wird ist mir einleuchtend, jedoch nicht wie daraus nur x wird wenn Sie es abziehen

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Ich konnte dahinter kommen wie sie auf (2x^2-3)(x-1) kommen aber unsicher bei 2(x^4-3x^2) ist die 2 vor der Klammer das was von 8x(x^2-1) übrig bleibt ?
Wurde an dieser stelle 8x(x^2-1) durch 4x(x^2-1) gerechnet?

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aber dann wäre (4x(x^2-1)/(4x(x^2-1) = 1 und nicht x?

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Oder haben Sie die Werte durch 4(x^2-1) geteilt? dann würden aber doch 2x herauskommen

Answer 2

Ist bei dir der Faktor 2 im Nenner zu viel oder in der Musterlösung zu wenig ?

Benutze selber https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe oder Selbstkontrolle

Comments

Hier die 2. Ableitung von mir. Vermutlich ohne die 2 im Nenner.

$$f'(x)= \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2} \newline f''(x)= \frac{(4x^3 - 6x) \cdot (x^2-1)^2 - (x^4 - 3x^2) \cdot 2 \cdot (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} \newline f''(x)= \frac{(4x^3 - 6x) \cdot (x^2-1) - (x^4 - 3x^2) \cdot 2 \cdot 2x}{(x^2-1)^3} \newline f''(x)= \frac{(4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x) - (4x^5 - 12x^3)}{(x^2-1)^3} \newline f''(x)= \frac{2x^3 + 6x}{(x^2-1)^3}$$

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Vielen Dank ! Ich habe bei der ersten Ableitung keine 2 im Nenner und laut Lösung soll dort auch keine sein. Auch die zweite Ableitung passt jetzt! Ich hab es sogar verstanden ! :)

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In deiner Frage befand sich im Funktionsterm eine zusätzliche 2.

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Sie haben recht im Lösungsblatt steht  f(x) x^3/ x^2-1 , also ohne 2 im nenner. Wäre meine Lösung den zu f(x)= x^3/2(x^2-1) korrekt ?

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Um die Verwirrung zu beenden:

f(x) = \( \frac{x^3}{2(x^2-1)} \)

f'(x) = \( \frac{x^4-3x^2}{2(x^2-1)^2} \)

f''(x) = \( \frac{ x(3 +x^2) }{(x^2-1)^3} \)

Das entspricht meiner ersten Antwort. Und ohne die ominöse 2:

f(x) = \( \frac{x^3}{(x^2-1)} \)

f'(x) = \( \frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2} \)

f''(x) = \( \frac{ 2x^3 +6x }{(x^2-1)^3} \)

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Nein. Wenn sich f(x) um den Faktor 1/2 unterscheidet, dann unterscheiden sich auch alle Ableitungen um den Faktor 1/2.

Mahr als an dieser dummen zwei würde sich dann auch nichts ändern.