Zeigen Sie die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit mit + und * jeweils Modulo 5

Question

Text erkannt:

3) Zeigen Sie, dass im \( \mathbb{Z}_{5} \)-Vektorraum \( \left(\mathbb{Z}_{5}\right)^{2} \) die folgenden Mengen von Vektoren linear abhängig / linear unabhängig sind. \( \left(\mathbb{Z}_{5}=\{0,1,2,3,4\}\right. \) mit \( + \) und \( \cdot \) jeweils Modulo 5 )
\( \left\{\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right)\right\},\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\},\left\{\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)\right\}, \)

Aufgabe:

Ich muss hier die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit bestimmen, wie man das mach weiß ich nur versteh ich nicht was mit dem Z₅ gemeint ist und auch das modulo 5 versteh ich nicht.

Answer 1

Z₅ bedeutet: Du rechnest ganz normal, nimmst aber vom

Ergebnis den Rest, der bei Division durch 5 entsteht:

Also ist dann 3+4=2 denn 7:5 lässt den Rest 2.

Insbesondere ist 2+3=0 und 4+1=0 also die

letzten beiden Vektoren linear abhängig.

Comments

Also von dem ersten Paar hab ich die Abhängigkeit bzw Unabhängigkeit mit der Determinanten bestimmt da kam 10 raus und das modulo 5 ergibt 0, also linear abhängig korrekt?

---

Genau so ist es !

---

Alles klar. Vielen Dank für die Hilfe