Äquivalent (Lineares Gleichungssystem) beweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper. Seien \( m, n \in \mathbb{N} \), und \( a_{i j}, b_{i} \in K \) für \( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \). Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\( \begin{array}{cccccc} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+ & +a_{1 n} x_{n}= & b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+ & +a_{2 n} x_{n}= & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\ldots+a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array} \)
und definieren dazu Spaltenvektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) und \( b \) wie folgt:
\( v_{i}=\left(\begin{array}{c} a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i} \end{array}\right) \in K^{m} \quad \text { für } i \in\{1, \ldots, n\} \quad \text { und } \quad b=\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right) \in K^{m} \text {. } \)
Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Das Gleichungssystem \( (*) \) ist lösbar.
(ii) \( \operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}, b\right) \).
(iii) \( b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle \).
Hinweis. Es genügt, zu zeigen: (i) \( \Leftrightarrow \) (iii), (iii) \( \Rightarrow \) (ii) und (ii) \( \Rightarrow \) (iii).

Problem/Ansatz:

Moin kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Im Grunde ist es einfach die Äquivalenz zu zeigen. Allerdings wäre meine Vorgehensweise nicht wirklich beweisen sondern eher zeigen. Wäre dankbar, wenn jemand paar Ansätze hätte

Answer 1

Allerdings wäre meine Vorgehensweise nicht wirklich beweisen sondern eher zeigen.

Das ist eigentlich das gleiche.

Answer 2

(i)<=>(iii)  Wenn das Gl.system läsbar ist, gibt es x1 , ..., xn mit

x1*v1 + ...+xn*vn = b . Also \( b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle \)

Umgekehrt garantiert \( b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle \)

die Existenz solcher xi, also Lösbarkeit des Gl.syst.

(iii)==> (ii). \( b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle \)

==>  b ist durch die vi darstellbar, also keine Änderung des Ranges.

Umgekehrt: Beide Vektorfamilien gleicher Rang

==>  b ist durch die vi darstellbar.