1. Ableitung von f(x)= (ax+b)e^x?

Question

bin gerade bei einer Aufgabe.
Vor ab: Bin eigentlich 'ne Niete in Mathe, deshalb bin ich über jede Hilfe, die ich kriegen kann, sehr dankbar.

Die Aufgabe lautet: K mit f(x)= (ax+b)e^x berührt die Gerade mit y = e an der Stelle x = 1. Gesucht ist nun der Funktionsterm.
Ich dachte mir als erstes mal ich mal die 1. Ableitung, da hat es auch schon gescheitert. Zuerst denke ich mal, dass es was mit der Produktregel zu tun hat. Ich habe dann für u = ax+ b u'= x  v=e^x v'=e^x
u'*v+u*v*  also: x*e^x+(ax+b)*e^x  -> xe^x+(ax+b)e^x (Ab hier war ich mir dann nicht mehr sicher!) -> xe^x+axe^x+be^x (dann habe ich e^x ausgeklammert) -> e^x(x+ax+b) ist das nun wirklich die 1. ableitung?

Und wie muss ich weiter vorgehen, um den Funktionsterm herauszufinden?


Wäre um jede Hilfe dankbar!!!!

Answer 1

 

K mit f(x)= (ax+b)e^x berührt die Gerade mit y = e an der Stelle x = 1.

Also müssen wir doch die beiden Gleichungen für die Stelle x = 1 gleichsetzen:

f(1) = (a + b) * e¹ = e | : e

a + b = 1 | a = 1 - b

Jetzt bilden wir die 1. Ableitung von e:

f'(x) = (ax + b)' * e^x + (ax + b) * (e^x)' =

a * e^x + (ax + b) * e^x =

(a + ax + b) * e^x

Da der Graph von y = e eine Gerade mit dem Anstieg 0 ist (e ist eine Konstante), muss der Anstieg von f(x) an dieser Stelle (wegen des bloßen Berührens, aber nicht Schneidens) auch 0 sein, also

(a + ax + b) * e^x = 0

e^x ist immer ungleich 0, deshalb

a + ax + b = 0

2a + b = 0

a = 1 - b eingesetzt ergibt

2 - 2b + b = 0

2 = b

und daraus folgt

a = -1

Damit lautet

f(x) = (-x + 2) * e^x

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank für die zügige Antwort, hat mir sehr weitergeholfen.

Nur eine Frage:
Wie kommt man von 2a+b= 0 dann auf a = 1-b?

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Freut mich wenn ich helfen konnte - gern geschehen!


"Wie kommt man von 2a+b= 0 dann auf a = 1-b?"


Wie man auf

2a + b = 0

gekommen ist, ist Dir klar, nicht wahr?


a = 1 - b

hatten wir schon ganz oben festgestellt,

da aus

f(1) = e folgte:

a + b = 1 und damit durch Subtraktion von b

a = 1 - b


Der Rest war nur noch Einsetzen :-)

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Ah okay, jetzt habe ich es verstanden. Super, wirklich vielen Dank. Habe mit solchen Aufgaben leider öfters Probleme. :-(

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Klasse, das freut mich!!

Alles eine Frage der Übung, es gibt auch einige Aufgaben, die mir große Schwierigkeiten bereiten - ich drücke mich dann einfach davor :-D

Das könnt Ihr leider nicht :-)

Answer 2

Du hast die Ableitung von u = a x + b falsch berechnet. Es ist

u ' = a

und nicht u ' = x

Die Ableitung v ' = e ^x  ist aber korrekt.

 

Nun also Produktregel:

f ' ( x ) = a * e ^x + ( a x + b ) * e ^x

= ( a + a x + b ) * e ^x

= ( a ( x + 1 ) + b ) * e ^x

 

Zur Bestimmung der beiden Parameter a und b benötigt man zwei Gleichungen. Diese ergeben sich aus der Aufgabenstellung. Zum einen muss der Funktionswert von f  an der Stelle x = 1 gleich e sein, denn der Berührpunkt ist gleichzeitig ein Punkt des Graphen der Funktion f und der Geraden y = e

f ( 1 ) = e

<=> ( a * 1 + b ) * e ¹ = e

<=> a + b = 1

Außerdem müssen die Ableitung sowohl der Geraden also auch der Funktion f ( x ) übereinstimmen, sonst ist der Berührpunkt in Wahrheit ein Schnittpunkt. Also:

f ' ( 1 ) = g ' ( 1 )

f ' haben wir schon bestimmt, und g ' = 0 an jeder Stelle, da g eine horizontale Gerade ist. Also:

f ' ( 1 ) = 0

<=>  ( a ( 1 + 1 ) + b ) * e ¹ = 0

<=> ( 2 a + b ) * e = 0

Das Gleichungssystem aus den beiden fett gesetzten Gleichungen muss nun gelöst werden. Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

a = 1 - b

Einsetzen in die zweite Gleichung:

( 2 ( 1 - b ) + b ) * e = 0

<=> ( 2 - b ) * e = 0

<=> 2 - b = 0

<=> b = 2 

Damit ergibt sich für a:

a = 1 - b = 1 - 2 = - 1

Also lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

f ( x ) = ( a x + b ) e ^x

= ( - 1 x + 2 ) e ^x

= ( 2 - x ) e ^x

Hier der Graph der beiden Funktionen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+2+-+x+%29+*+e^x+%2C+e