Transivität und Antisymmetrie in Äquivalenzrelationen

Question

Hallo, ich habe Probleme Aquivalenzgleichungen auf Reflexivität, Transivität, Symmetrie und Antisymmetrie zu überprüfen.

Aufgabe: Die Relation R auf ℤ definiert durch: a R b :⇔ (n − 2)³ ≤ (m − 2)³ :Beweisen, ob Reflexivität, Transivität, Symmetrie und/oder Antisymmetrie zutrifft.

Problem: Ich verstehe die Definitionen von den oben genannten Eigenschaften eigentlich, kann auch sagen, dass es nicht symmetrisch ist, weil das Paar (1, 2) gehört zur Relation aber (2,1) nicht. Reflexivität versteh ich auch, denn wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl einsetzt, ist die Bedingung erfüllt.

Leider versteh ich aber Antisymmetrie und Transivität gar nicht. Könnte mir wer weiterhelfen?

Comments

Du meinst wohl \(nRm\), oder \(mRn\)?

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Das dachte ich mir auch, aber bei der Prüfung stand das genau so mit a R b.

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Dann gäbe es keinen Sinn !

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Vielleicht war das ein Fehler, wie wäre es aber zu lösen, wenn da n R m stehen würde?

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Muss leider weg. Kann ich dir in ca. 2 Stunden als Antwort schreiben.

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Oswald hat eine schöne Antwort gegeben.
Besser hätte ich es auch nicht vermocht.

Answer 1

(n − 2)³ ≤ (m − 2)³

Das ist genau dann der Fall, wenn

        n - 2 ≤ m - 2

ist. Weil f(x) = x³ streng monoton wachsend ist.

Und n - 2 ≤ m - 2 gilt genau dann, wenn

        n ≤ m

ist. Die Relation n R m ⇔ (n − 2)³ ≤ (m − 2)³ ist also nicht anderes als die übliche ≤-Relation.