Differentialgleichung: Durch Trennung der Variablen allgemeine Lösung von y' +x(y)^3 = 0 finden

Question

Ich bräuchte Hilfe bei zwei DGLs, die man mit Hilfe der Trennung der Variablen lösen soll.

Aufgabe 1:

$$ y ^ { \prime } + x ( y ) ^ { 3 } = 0 \\ \\ \frac { d y } { d x } + x ( y ) ^ { 3 } = 0 \Rightarrow \frac { d y } { d x } = - x ( y ) ^ { 3 } \Rightarrow \int \frac { d y } { y ^ { 3 } } = \int - x d x \\ \\ \ln y ^ { 3 } = - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + C $$

So weit bin ich gekommen und weiß nicht weiter. Als Ergebnis muss herauskommen:

$$ y = \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - 2 C } } $$

Aufgabe 2:

$$ y ^ { \prime } \left( 1 + x ^ { 2 } \right) - y = 0 \Rightarrow \frac { y } { y ^ { \prime } } = x ^ { 2 } \Rightarrow \frac { y } { d y } = \frac { x ^ { 2 } } { d x } $$

Hier muss herauskommen:

$$y = C e ^ { a r c t a n x }$$

Answer 1

Aufgabe 1:

y' + x(y)^3 = 0

dy/dx + x * y^3 = 0

dy/dx = -x * y^3

dy/dx / y^3 = -x

∫ dy/dx / y^3 dx = ∫ -x dx

∫ 1 / y^3 dy = ∫ -x dx

- 1/(2 * y^2) = - x^2/2 + c <--- Hier hattest du verkehrt Integriert.

- 1/(2 * y^2) = - (x^2 - 2 * c)/2

1/(2 * y^2) = (x^2 - 2 * c)/2

2 * y^2 = 2/(x^2 - 2 * c)

y^2 = 1/(x^2 - 2 * c)

y^2 = 1/√(x^2 - 2 * c)

Aufgabe 2:

Zweite Aufgabe

y' * (1 + x^2) - y = 0

y/y' = x^2 + 1 <--- Wo ist bei deinem Umstellen die 1 geblieben?

y/(dy/dx) = x^2 + 1

dy/dx = y/(x^2+1)

1/y * dy/dx = 1/(x^2+1)

∫ 1/y * dy/dx dx = ∫ 1/(x^2+1) dx

∫ 1/y * dy = ∫ 1/(x^2+1) dx

ln(y) = tan^{-1}(x) + c

y = e^{tan^-1(x) + c}

y = e^c * e^{tan^-1(x)}

y = d * e^{tan^-1(x)}

Comments

Danke. Da haben sich zwei echt doofe Fehler eingeschlichen.

Hier ist noch eine Aufgabe, zu der ich aber keine Lösung habe und bei der ich mich unsicher bin.

$$ y ^ { \prime * } \cos ^ { 2 } ( x ) + y = 0 \Rightarrow \frac { d y } { y } = - \frac { d x } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \Rightarrow y = C e ^ { t a n x } $$

Vielleicht kann das jemand kurz prüfen?

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Du ∫ 1/y dy = ∫ - 1/cos²(x) dx

ln(y) = -tan(x) + c <--- Wo hast du das Minus gelassen?

y = e^{-tan(x) + c} = d * e^{-tan(x)}

Answer 2

Zur ersten Aufgabe:

Wenn ich 1/y^3 = y^{-3} integriere, bekomme ich -0.5y^{-2}

Es folgt die Gleichung

-0.5y^{-2} = -0.5x^2 + C |*(-2)

y^{-2} = x^2 - 2C |Kehrwert auf beiden Seiten

y^2 = (x^2 - 2C)^{-1}

Wurzel daraus

y = 1/√(x^2 - 2C)

wie gewünscht.

Bei der 2. Aufgabe hast du im ersten Schritt '1+' verloren

Danach kommst du auch auf

dx/(1+x^2) = dy/y |integrieren

arctan x + C = ln y |beidseits e^

e^{arctan x + C } = y

e^C*e^{arctan x} = y

D*e^{arctan x} = y