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Aufgabe:

Bestimme die Laurentreihe von f im Ringgebiet mit Mittelpunkt 0, innerem Radius 1 und äußerem Radius 4.

f(z)=17(z1)(z2+16).f(z) = \frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)}.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits versucht den Term 1/(z^2 + 16) als geometrische Reihe zu entwickeln (da diese für alle z innerhalb des Ringgebietes konvergiert), also:

f(z)=1716(z1)11(z216)=1716(z1)n=0(1)n(z4)2n=17z1n=0(1)nz2n142n+2.f(z) = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{z^2}{16})} = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{z}{4})^{2n} = \frac{17}{z-1} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot z^{2n} \cdot \frac{1}{4}^{2n+2}.

Leider weiß ich nicht, wie ich fortfahren kann, bzw ob der Ansatz überhaupt in die richtige Richtung geht.


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Habe es mal über die Partialbruchzerlegung versucht, mit f(z)=z1z2+16+1z1f(z) = \frac{-z-1}{z^2 + 16} + \frac{1}{z-1} . Dann lassen sich Haupt- und Nebenteil entwickeln als:

n=0(1)n+1(14)2n(z+1)z2n+n=1zn \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot (\frac{1}{4})^{2n} \cdot (z + 1) \cdot z^{2n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} z^n.

Damit würde jedoch der (z+1)-Term in den ana_n (des Nebenteils) verbleiben, die Lösung ist also auch nicht zulässig, oder?

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Laurentreihe von f(z)=17(z1)(z2+16)f(z) = \frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)} auf R={zC : 1<z<4}\mathcal{R}=\{z\in \mathbb{C} : 1<|z|<4\}.

Erstmal ff (vollständig!) partialbruchzerlegen:17(z1)(z2+16)=i812z4i+i812z+4i+1z1\frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)} =\frac{\frac{i}{8}-\frac{1}{2}}{z-4i}+\frac{-\frac{i}{8}-\frac{1}{2}}{z+4i}+\frac{1}{z-1} Du musst dann für einzelnen Summanden die Reihen entwickeln. Weißt du, wie das geht? Ist so ein bisschen algebraische Trickserei - man erzwingt die geschlossene Formel für die geometrische Reihe.

Avatar von 28 k

Vielen Dank für den Tipp mit der vollständigen Partialbruchzerlegung, da stand ich echt auf dem Schlauch. Das Umformen der Summanden in Reihen sollte kein Problem sein :)

Freut mich, weiter so! u got this

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