Bestimme die Laurentreihe von f im Ringgebiet mit Mittelpunkt 0, innerem Radius 1 und äußerem Radius 4.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Laurentreihe von f im Ringgebiet mit Mittelpunkt 0, innerem Radius 1 und äußerem Radius 4.

\(f(z) = \frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)}. \)

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits versucht den Term 1/(z^2 + 16) als geometrische Reihe zu entwickeln (da diese für alle z innerhalb des Ringgebietes konvergiert), also:

\(f(z) = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{z^2}{16})} = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{z}{4})^{2n} = \frac{17}{z-1} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot z^{2n} \cdot \frac{1}{4}^{2n+2}.\)

Leider weiß ich nicht, wie ich fortfahren kann, bzw ob der Ansatz überhaupt in die richtige Richtung geht.

Comments

Habe es mal über die Partialbruchzerlegung versucht, mit \(f(z) = \frac{-z-1}{z^2 + 16} + \frac{1}{z-1} \). Dann lassen sich Haupt- und Nebenteil entwickeln als:

\( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot (\frac{1}{4})^{2n} \cdot (z + 1) \cdot z^{2n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} z^n\).

Damit würde jedoch der (z+1)-Term in den \(a_n\) (des Nebenteils) verbleiben, die Lösung ist also auch nicht zulässig, oder?

Answer 1

Laurentreihe von \(f(z) = \frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)} \) auf \(\mathcal{R}=\{z\in \mathbb{C} : 1<|z|<4\}\).

Erstmal \(f\) (vollständig!) partialbruchzerlegen:$$\frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)} =\frac{\frac{i}{8}-\frac{1}{2}}{z-4i}+\frac{-\frac{i}{8}-\frac{1}{2}}{z+4i}+\frac{1}{z-1}$$ Du musst dann für einzelnen Summanden die Reihen entwickeln. Weißt du, wie das geht? Ist so ein bisschen algebraische Trickserei - man erzwingt die geschlossene Formel für die geometrische Reihe.

Comments

Vielen Dank für den Tipp mit der vollständigen Partialbruchzerlegung, da stand ich echt auf dem Schlauch. Das Umformen der Summanden in Reihen sollte kein Problem sein :)

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Freut mich, weiter so! u got this