Aufgabe:
Bestimme die Laurentreihe von f im Ringgebiet mit Mittelpunkt 0, innerem Radius 1 und äußerem Radius 4.
\(f(z) = \frac{17}{(z-1)(z^2 + 16)}. \)
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits versucht den Term 1/(z^2 + 16) als geometrische Reihe zu entwickeln (da diese für alle z innerhalb des Ringgebietes konvergiert), also:
\(f(z) = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{z^2}{16})} = \frac{17}{16(z-1)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{z}{4})^{2n} = \frac{17}{z-1} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot z^{2n} \cdot \frac{1}{4}^{2n+2}.\)
Leider weiß ich nicht, wie ich fortfahren kann, bzw ob der Ansatz überhaupt in die richtige Richtung geht.