Wie bestimme ich zu Marix A eine orthogonale Basis im ℝ2?

Question

Aufgabe:

Matrix A mit symmetrischer Umformungsmethode diagonalisieren, danach bezüglich b_A eine orthogonale Basis bestimmen.

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \)

b_A (x,y) := x^T * A * y

Nach dem Diagonalisieren erhalte ich folgende Matrix:

D = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich jetzt eine orthogonale Basis im ℝ² ?

Comments

Man kann diese Basis als Basis aus Eigenvektoren bestimmen.

Ich vermute allerdings, dass diiese Basis mit abfällt bei dem, was Du symmetrische Umformungsmethode genannt hast - die kenne ich aber nicht.

Answer 1

So weit ich das mit dem symmetrischen Umformen noch parat hab würde ich zu

\(\small \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\-2&1\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{rr}1&2\\2&2\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rr}1&-2\\0&1\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right) =   \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\\\end{array}\right)\)

kommen.

Comments

Neee. Diagonalisiert habe ich ja schon, in einem Schritt:

Von links quasi mit gauss:

1 2 I

2 2 II

-------------

1 2 I' = I

0 -2 II' = (-2) * I + II

Somit erste null unten links erzeugt.

Wenn wir nun die Umformungen rechts ablesen, erhalten wir C^t =

 1 0

-2 1

C ist dann

 1 -2

0   1

Dann die bereits mit gauss berechnete Matrix

(C^t * A) * C multiplizieren, um auf D zu kommen.

Aber es wird ja auch nach einer orthogonalbasis zu A gefragt, da b zur basis A ist, und nicht zur matrix D. So wie ich es verstanden habe.

Vielleicht mit dem gram schmidt verfahren?

Aber das verwirrt mich, denn gram schmidt ist doch zum orthonormalisieren, und nicht nur zum orthogonalisieren, oder?

---

Oh, ich sehe gerade, hast du ja gemacht! Die äußersten beiden matratzen verwirrten mich. Wie kommst du auf die?

Sind dann die vektoren deiner ergebnismatrix die basisvektoren?

Du hast sicher mit den äußersten matritzen normiert, oder?

---

Yep,

a22=-2 muß weg, d.h. multipliziert mit 1/2 gibt eine -1, also multiplizieren wir mit 1/√2, einmal von links und einmal von rechts - dann passt es, oder?

Du mußt die Umformungsmatrizen noch zusammen fassen - ausmutliplizieren...

---

Stimmt. Jetzt bleibt nur noch die Frage, ob die Aufgabenstellung mit den orthogonalbasen auf die Diagonalmatrix D oder Inputmatrix A bezogen war, oder ob es sogar egal ist.

---

Die Matrix A wird auf Basis der zusammengefassten Umfomungsmatrixen als   Diagonalmatrix dargestellt:

\(\small Q \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&-\sqrt{2}\\0&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\end{array}\right)\)

Q^T A Q = D

---

Ist Q nicht gleich C? Also laut dem Lernbuch Transformationsmatrix T, die durch Einheitsmatrix e2 * C entsteht? Und du hast jetzt wohl noch einmal eine der äußersten matritzen von deiner rechnung dran multipliziert? Ich nehme an, von rechts?

---

Namen sind Schall und Rauch: Q,C,T?

Nochmal:

Du mußt die Umformungsmatrizen zusammen fassen - ausmutliplizieren.

Durch eine Multiplikation mit der Einheitsbasis ändert sich nix...

---

C ist die nochmals transponierte Gauss Matrix von links. Laut definition von Fischer. Und in diesem falle bei A nur mal die einheitsmatrix, würde noch eine Umformung stattfinden, dann auch mal C2. Am ende wäre das dann T = Transformationsmatrix, mit der T transponiert mal A mal T gleich D gilt.

---

Hi, ich bins nochmal. Also so lautet die Aufgabenstellung:

"Bestimmen Sie zu der folgenden Matrix mit der symmetrischen
Umformungsmethode eine invertierbare Matrix S 2 Gl(2;R), so
dass S^t*A*S eine Diagonalmatrix ist. Bestimmen Sie ferner eine bezuglich b_A orthogonale
Basis von R2 bzw. R3 bezuglich der die darstellende Matrix der symmetrischen Bilinearform
b_A(x; y) := x^T *A * y eine Diagonalmatrix ist.

Ich glaube also, es ist auf die Diagonalmatrix bezogen, die nach dem symmetrischen umformen rauskommt, oder?

Ich habe das dann so gemacht, mit Gram-Schmidt:

u₁ = \( \frac{v₁}{||v₁||} \)  = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)  * 1 = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)

u'₂ = v₂ - <v₂, u₁> * u₁ =  \( \begin{pmatrix} 0\\-2\end{pmatrix} \) - <\( \begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)> * \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix} \) - 0 * \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix} \)

u2 = 1/\( \sqrt{4} \) * \( \begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)

Aber erstens hätte ich doch dann was anderes raus, als du, und zweitens orthonormalisiert man ja mit gram schmidt, ich soll ja aber laut Aufgabenstellung nur orthogonalisieren, das heißt, ich müsste ja dann das Normieren auf Länge 1 dann weglassen, oder?

---

@wächter

Habe was beim Recherchieren gefunden!

Die Spalten der diagonalisierten matrix D entsprechen doch einer orthogonalbasis, oder?

Also: u1 = (1 0) und u2 = (0 -2)