3x3 Matrix mit symmetrischen Umformungen diagonalisieren

Question

Aufgabe:

Wie diagonalisiere ich diese Matrix mit symmetrischen Umformungen, bzw. von links mit Gauß, und von rechts mit der entsprechenden Transponierten Matrix aus Gauss-Umformungen?

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Darf ich die Zeilen einfach so vertauschen, die letzte und die erste? WIe diagonalisiere ich die Matrix richtig?

LG

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwerte der Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:$$0\stackrel!=\operatorname{det}(A-\lambda\cdot\mathbf 1)=\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & 0 & 1\\0 & -\lambda & 0\\1 & 0 & -\lambda\end{array}\right|=-\lambda^3+\lambda=-\lambda(\lambda^2-1)=-\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$$Die Eigenwerte sind also \((\lambda_1=-1)\), \((\lambda_2=0)\) und \((\lambda_3=1)\)

Die zugehörigen Eigenvektoren lauten (Rechnung führe ich hier nicht vor):$$\vec v_1=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_2=\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_3=\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)$$

Diese Eigenvektoren können normiert und als Spalten in die Transformationsmatrix \(S\) eingetragen werden:$$S=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt2} & 0 & \frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]0 & 1 & 0\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2} & 0 & \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right)=S^T$$

Damit gilt:$$S\cdot A\cdot S^T=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Comments

Danke! Wäre die Matrix S^T * A * S = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)  bei entsprechender Matrix S genau so richtig?

Ich habe das ganze mit der symmetrischen Umformungsmethode aus Fischers Buch diagonalisiert, und kam dann auf die Matrix.

Entsprechen grundsätzlich die Spalten der Diagonalmatrix einer Orthogonalbasis?

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Ja, die Form \(S^{-1}\cdot A\cdot S\) ist eigentlich üblich. Da hier \(S\) aber orthogonal und symmetrisch ist, \(S^{-1}=S^T=S\), ist das egal.

Die Hauptdiagonale der Diagaonalmatrix enthält die Eigenwerte.

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Ja, aber bilden die einzelnen Spalten, bzw. dann einzelnen Vektoren v1 = (-1 0 0), v2 = (0 0 0) v3 = (0 0 -1) dann nicht eine Orthogonalbasis?

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Das auch, die Eigenvektoren einer rellen symmetrischen Matrix sind orthogonal. Eine solche liegt hier vor. Ich habe die Eigenvektoren aber noch normalisiert.

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Ahhh! Super, dankeschön!

Answer 2

Wie diagonalisiere ich diese Matrix mit symmetrischen Umformungen, bzw. von links mit Gauß, und von rechts mit der entsprechenden Transponierten Matrix aus Gauss-Umformungen?

Es genügen zwei elementare symmetrische Umformungen:$$(1)\quad\begin{pmatrix}1&0&\tfrac12\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\tfrac12&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$$$(2)\quad\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$

Comments

Auf diese Diagonalmatrix komme ich auch! Aber mit anderen Umformungen.

001 I

000 II

100 III

Erst mache ich mit Gauss I' = III + I

Dann erhalte ich

101

000

100

Und dann III = (-1) * II + III

101

000

00-1

Und dann von rechts mit der Transponierten Gauß-Umformungsmatrix, also

10-1

010

001

multiplizieren.

Dann erhalte ich

100

000

00-1

Nur dann klappt die Überprüfung mit S^t*A*S irgendwie nicht.

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Wie schaffst du es denn, bei der symmetrischen Umformungsmethode in der ersten Matrix von links, in der zweiten zeile in der Mitte eine 1 zu erzeugen. Mit gauß geht das doch gar nicht, oder?

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In jedem Schritt werden elementare Umformungen der Art \(A\mapsto PAP^\top\) vorgenommen. Da alle Matrixelemente außer \(a_{13}=a_{31}\) gleich Null sind, liegt es nahe, damit an der Stelle \((1,1)\) eine \(1\) zu erzeugen. Die erste Umformung könnte also wie folgt lauten:$$(1)\quad\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\x&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$Wähle also \(x=\tfrac12\).
Als nächstes müsste das Element an der Stelle \((3,1)\) eliminiert werden:$$(2)\quad\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\y&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&y\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&y+1\\0&0&0\\y+1&0&y^2+2y\end{pmatrix}.$$Wähle also \(y=-1\). Damit ist die gewünschte Form erreicht.

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Ich checks leider nicht. Ich finde den Weg viel zu kompliziert. Wieso geht das nicht einfach mit der symmetrischen-Umformungsmethode von Fischer...

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Vielleicht hilft dies weiter: https://www.staff.uni-oldenburg.de/wiland.schmale/LA2/LA2_Paragraf_14.pdf.

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Leider nicht so wirklich...