Nein, es wird immer zwei Punkte geben, welche die gleiche Position haben, egal wie der Spieler den Ball auf den Elfmeterpunkt legt. Dies liegt daran, dass der Spieler die Position des Balles lediglich durch Drehungen verändern kann, jedoch die Komposition von Drehungen wieder als eine einzige Drehung dargestell werden kann. Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es zu jeder einfachen Drehung nun eine Drehachse, und eben jene Punkte, welche auf der Drehachse liegen, bleiben unverändert.
Mathematische Begründung:
Seien \( \mathrm{G}_{1}, \ldots, \mathrm{G}_{\mathrm{n}} \) die Rotationsmatrizen der Drehungen, welche der Spieler relativ zu der vorherigen Position des Balles durchführt. Bekanntlicherweise sind Rotationsmatrizen orthogonal, insbesondere gilt also
\( \mathrm{G}=\prod \limits_{i=1}^{n} \mathrm{G}_{i} \Longrightarrow \operatorname{det}(\mathrm{G})=\prod \limits_{i=1}^{n} \operatorname{det}\left(\mathrm{G}_{i}\right)=1 \)
Nun ist G orthogonal (Produkt orthogonaler Matrizen) und dementsprechend diagonalisierbar über \( \mathbb{C} \), insbesondere gilt für die drei Eigenwerte \( \lambda_{i}, 1 \leqslant i \leqslant 3 \), da komplexe Eigenwerte in paaren auftreten, dass es also einen reellen Eigenwert geben muss. Weiterhing gilt für diesen, sei es \( \lambda \), dass \( |\lambda|=1 \). Es gibt also einen zu \( \lambda \) gehörenden Eigenvektor \( v \), welcher
\( \mathrm{G} v=v \) erfüllt.
