Zeigen Sie: Ist f:(a, b) \times(a, b) → ℝ partiell differenzierbar mit beschränkten partiellen Ableitungen …

Question

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \). Zeigen Sie: Ist \( f:(a, b) \times(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) partiell differenzierbar mit beschränkten partiellen Ableitungen \( \partial_{x} f \) und \( \partial_{y} f \), so ist \( f \) Lipschitz-stetig.

Bitte um Hilfe. Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

wie im eindimensionalen Fall benötigt man eine Variante des Mittelwertsatzes. Vielleicht habt Ihr da etwas besprochen. Wenn nicht, kann man es so machen:

Es seien zwei Punkte \((x,y),(x',y') \in (a,b) \times (a,b)\) gegeben. Definiere:

$$h:[0,1] \ to \mathbb{R}, \quad h(t):=f((x,y)+t((x',y')-(x,y)) \; dt$$

Dann gilt mit einem \(s \in (0,1)\):

$$f(x',y')-f(x,y)=h(1)-h(0)=h'(s)$$

Mit der Kettenregel:

$$h'(s)=\partial_x f((x,y)+s((x',y')-(x,y))(x'-x)+ \partial_y f((x,y)+s((x',y')-(x,y))(y'-y)$$

Wenn wir mit p und q Abschätzungen für die partiellen Ableitungen von f bezeichnen folgt:

$$|f(x',y')-f(x,y)| \leq p|x'-x|+q|y'-y|$$

Wählt man die Maximums-Norm:

$$|f(x',y')-f(x,y)| \leq (p+q) \|(x',y')-(x,y)\|_{\infty}$$

Gruß Mathhilf