Überprüfen Sie, ob f : ℝd → ℝ, f(x) = log(1+||x||_2) partiell bzw total Differenzierbar ist.

Question

Überprüfen Sie die folgende Funktion auf partielle bzw. totale Differenzierbarkeit und berechnen Sie die partielle/totale Ableitung, falls diese existiert.

f : ℝ^d → ℝ, f(x) = log(1+||x||₂)

||x||₂ ist die euklidische Norm

Ansatz:

Also ich sehe, das es sich um eine Logarithmusfunktion handelt und die ist ja stetig.

Wenn ich das ganze partiell ableite, müsste sowas rauskommen wie:

∂_jf(x) = \( \frac{x_j}{||x||_2+||x||_2^2} \), j ∈ {1, ... ,d} bzw. \( \frac{x_j}{\sqrt{x_1^2+...+x_d^2}+x_1^2+...+x_d^2} \) und dann müsste man jetzt noch schauen, ob ||x||₂ und ||x||₂² stetig sind? Da hätte ich jetzt ein Problem, ich weiss nicht wie man das zeigen kann, oder darf man das wissen?

Answer 1

Hallo ||x|| ist überall stetig, und ausser bei 0 überall differenzierbar also ist nur bei  x=0 nicht differenzierbar.  das letze kannst du direkt sehen, das erste muss man wohl nicht zeigen, sonst sieh dir den Graphen mal für d=1 an.

lul

Answer 2

Aloha :)

Für eine Funktion, die nur vom Betrag \(x=\|\vec x\|\) eines Vektors \(\vec x\) abhängt, lautet der Gradient nach der Kettenregel:$$\operatorname{grad}f(x)=\frac{\partial f}{\partial \vec x}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial\vec x}=f'(x)\cdot\operatorname{grad}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_d^2}$$Für die \(i\)-te Komponente des Gradienten gilt:$$\frac{\partial}{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2}=\frac{1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2}}\cdot 2x_i=\frac{x_i}{x}$$Das heißt zusammengesetzt:$$\operatorname{grad} f(x)=f'(x)\cdot\frac{\vec x}{x}=f'(x)\cdot\vec x^0$$Man braucht also die Funktion nur nach dem Betrag \(x\) abzuleiten und das Ergebnis mit dem Einheitsvektor \(\vec x^0\) zu multiplizieren.

Das wenden wir hier nun an:$$\operatorname{grad} f(x)=\operatorname{grad}\log\left(1+x\right)=\frac{1}{1+x}\cdot\vec x^0=\frac{1}{x+x^2}\cdot\vec x$$Für den Nullvektor \(\vec x=\vec 0\) ist der Gradient nicht definiert, daher ist die Funktion für \(\vec x=\vec 0\) nicht differenzierbar. Für \(\vec x\ne\vec 0\) ist der Gradient aber stetig, sodass die Funktion für alle \(\vec x\ne\vec 0\) total differenzierbar ist.